第五讲-1线代.pptVIP

* 第五章 数值积分与数值微分 § 5.2 Newton-Cotes公式 § 5.3 复化求积公式 § 5.4 Romberg积分法 § 5.5 Gauss积分公式 § 5.6 数值微分 § 5.1 引言 § 5.1 引 言 对于积分 但是在工程技术和实践中,常会见到以下现象: 一、数值积分的必要性 二、数值求积公式的一般形式 左矩形公式 梯形公式 一般地，可以用 求积系数只与求积节点的选取有关，与被积函数f(x)无关。 截断误差或余项： 为了使一个求积公式能对更多的积分具有较精确的计算结果，自然希望它对尽可能多的被积函数都准确地成立。为此引进代数精度的概念。 定义1. 若求积公式 定理1. 上述求积公式具有m次代数精度的充分 必要条件是： 三、求积公式的代数精度 例1. 试确定下面积分公式中的待定系数，使其 代数精确度尽量高，并指明其代数精度。 解: 3次代数精确度 四、插值型求积公式 我们称此公式为插值型求积公式。 余项为 所以，有n+1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。 反之，如果一个求积公式 的代数精度至少是n次，那么它必然是由插值多项式推导出来的？ √ 定理2. 求积公式 至少有n次代数精度 它是插值型求积公式。 5.2 Newton-Cotes公式 一、Newton-Cotes求积公式的导出 柯特斯系数 牛顿-柯特斯公式 二、低阶Newton-Cotes公式 在Newton-Cotes公式中，n=1,2,4时的公式是最常用 也是最重要的三个公式 1.梯形公式 Cotes系数为 求积公式为 上式称为梯形求积公式（如图），也称两点公式。 2. Simpson公式 Cotes系数为 求积公式为 上式称为Simpson公式，也称抛物线公式或三点公式。 y=f(x) y=L2(x) 辛普森（Simpson）公式的几何意义见右图所示，它是用抛物线y=L2(x)围成的曲边梯形的面积近似代替y=f(x)所围成的曲边梯形面积。 3. n=3,4时的Cotes公式 上式称为Cotes求积公式，也称五点公式。 为了便于应用，通常把部分常用的柯特斯系数列成如下表格： 41/840, 9/35, 9/280, 34/105, 9/280, 9/35, 41/840 6 19/288, 25/96, 25/144, 25/144, 25/96, 19/288 5 7/90, 16/45, 2/15, 16/45, 7/90 4 1/8, 3/8, 3/8, 1/8 3 1/6, 4/6, 1/6 2 1/2, 1/2 1 Ck(n) n 从表中可以看出，柯特斯系数具有如下性质(容易证明)：