第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲乙组试题与解答.docVIP

第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答 一、填空题（每小题3分，共30分） 1. = 1/6 . 2．设连续，在处可导，且满足 则曲线在处的切线方程为 y=2x－2 . 3. 设, 则 －2 . 4．设函数可导且，二元函数满足，则 . 5. 设是由曲线 和直线, 所围成的区域, 是连续函数, 则 －2 . 6. . 7. 数项级数的和 －1+cos1+ln2. 8. 计算积分= 1/2 . 9. 已知入射光线的路径为, 则此光线经过平面反射后的反射线方程为 . 10. 设曲线的长度为L, 则 . 二、(10分) 设在上二阶可导，且而当时, 证明在内，方程有且仅有一个实根． 证明 由于当时，因此单调减，从而，于是又有严格单调减．再由知，最多只有一个实根． 下面证明必有一实根．当时， ， 即 ， 上式右端当时，趋于，因此当充分大时，，于是存在，使得，由介值定理存在，使得．综上所述，知在有而且只有一个实根． 三、(10分) 设有二阶连续偏导数, , 且, 证明 在取得极值, 判断此极值是极大值还是极小值, 并求出此极值. 解 , 由全微分的定义知 . A=， ， , 且, 故是极大值. 四、(10分) 设f (x)在 [0,1] 上连续, f (0)= f (1) , 求证:　对于任意正整数ｎ，必存在，使． 证明　令 于是有　　 所以　 故存在　使 　． 五、(10分) 六、(10分) 设函数具有连续导数,在围绕原点的任意光滑简单闭曲面上,积分 的值恒为同一常数. (1)证明: 对空间区域内的任意光滑简单闭曲面,有 ; (2) 求函数满足的表达式. (1)证明: 如图, 将分解为,另做曲面围绕原点且与相接, 则 =0. (2) 由(1)可知, ,其通解为 , 由, 得,故 七、(10分) 如图, 一平面均匀薄片是由抛物线 及轴所围成的, 现要求当 此薄片以为支点向右方倾斜时, 只要角不超过, 则该薄片便不会向右翻倒,问参数 最大不能超过多少? y 解 倾斜前薄片的质心在, 点与点的距离为 , 薄片不翻倒的临界位置的质心在点 , 此时薄片底边中心在点处, 有 , 解得, 故最大不能超过. . 八、(10分) 讨论是否存在 [0,2] 上满足下列条件的函数, 并阐述理由: f (x) 在 [0,2] 上有连续导数, f (0) = f (2)=1, 解 不存在这样的函数. 当时, 由题设知,且 . 下面证明上面的不等式不能同时取等. 否则, ,此时函数不满足连续可导的条件. 于是 故不存在满足所给条件的函数. 贸大数学竞赛选拔题目（一大一小） 1. 函数在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A指向 B( 3, －2 , 2) 方向的方向导数是 . 提示: 其单位向量为 2. 求函数在点的一阶泰勒公式 解: ， ， ，， 所以= +[ 2+ ]+ [+2()] 其中, 3. 求函数在点的三阶泰勒公式. 解: 因此, 将三阶 其中 4( 在曲面z(xy上求一点( 使这点处的法线垂直于平面x(3y(z(9(0( 并写出这法线的方程( 解 已知平面的法线向量为n0((1( 3( 1)( 设所求的点为(x0( y0( z0)( 则曲面在该点的法向量为n((y0( x0( (1)( 由题意知 n//n0( 即( 于是x0((3( y0((1( z0(x0y0(3( 即所求点为((3( (1( 3)( 法线方程为 ( 5( 设el((cos( ( sin()( 求函数f(x( y)(x2(xy(y2在点(1( 1)沿方向l的方向导数( 并分别确定角(( 使这导数有(1)最大值( (2)最小值( (3)等于0( 解 由题意知l方向的单位向量为(cos(( cos()((cos( ( sin()( 即方向余弦为 cos((cos( ( cos((sin( ( 因为 fx(1( 1)((2x(y)|(1( 1)(1( fy