2013届高三数学(理)二轮复习 必考问题专项突破20 统计及其与概率的交汇问题.docVIP

必考问题20　统计及其与概率的交汇问题 50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： [40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]． (1)求图中x的值； (2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望． 解　(1)由题意得：10x＝1－(0.006×3＋0.01＋0.054)×10＝0.18， x＝0.018. (2)成绩不低于80分的学生共有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，其中90分以上(含90分)的共有0.006×10×50＝3人，ξ的可能值为0,1,2， P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 本部分主要考查随机抽样、样本估计总体、线性回归分析，独立性检验的简单应用，一般是选择题、填空题，试题难度中等或稍易．若以解答题出现，往往与概率、离散型随机变量的分布列交汇考查． 在复习统计问题时，要紧紧抓住这些图表和方法，把图表的含义弄清楚，这样剩下的问题就是有关的计算和对统计思想的理解，在弄清楚统计问题的基础上，要与概率、离散型随机变量的分布列、期望、方差密切结合掌握. 必备知识 抽样方法 抽样方法包含简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种方法，三种抽样方法都是等概率抽样，体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围． 用样本估计总体 (1)利用样本频率分布估计总体分布： 频率分布表和频率分布直方图； 总体密度曲线； 茎叶图． (2)用样本的数字特征估计总体的数字特征： 众数、中位数； 样本平均数＝(x1＋x2＋…＋xn)＝i； 样本方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＝(xi－)2； 样本标准差 s＝ ＝ . 线性回归方程 方程＝bx＋a称为线性回归方程，其中b＝ a＝－b；(，)称为样本中心点． 独立性检验 假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为： 2×2列联表 y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2[来源:学科网ZXXK] c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d 构造一个随机变量K2＝， P(K2≥k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 必备方法 用样本估计总体 (1)在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.解决与频率分布直方图有关的问题时，应正确理解已知数据的含义，掌握图表中各个量的意义． (2)当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布． 总体期望的估计，计算样本平均值＝i； 总体方差(标准差)的估计：方差＝(xi－)2，标准差＝，方差(标准差)较小者较稳定. 此类试题主要考查分层抽样、频率分布直方图、茎叶图、线性回归方程、平均数和方差的计算、以及识图能力、借助概率统计知识分析、解决问题的能力，均可单独命制一道小题．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例1】 某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试，从中抽出60名学生，将其成绩分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100)后，画出如图所示的频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)为__________；平均分为__________． [审题视点] 　 　 [听课记录] [审题视点] (1)由图可知甲、乙的成绩，再利用公式计算． 用样本中及格的频率估计总体的及格率，以样本的平均数估计总体的平均数，即以各组的中点值乘以各组的频率之和估计总体的平均数． (1)C　[由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．] (2)解析　及格的各组的频率是(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，即及格率约为75%；样本的均值为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71，以这个分数估计总体的分数即得总