[考研数学]1-样本及抽样分布.ppt

第一章 样本及抽样分布 1.1 总体和样本 1.2 抽样分布 1.1 总体和样本 一. 总体与样本 二. 经验分布函数 三. 样本的数字特征 四. 统计量 一. 总体与样本 样本 在总体X中抽取n个个体X1, X2 , ? , Xn , n为样本容量， (X1, X2 , ? , Xn)构成n维随机变量。 样本的联合分布函数为F*(x1,x2,?,xn), 样本的联合概率密度函数为f*(x1,x2,?,xn), 二. 经验分布函数 1.经验分布函数 将n个样本值按大小排成顺序 x(1) ? x (2) ? ? ? x (n) 记Fn (x)为不大于x的样本值出现的频率,则 2. 格列汶科定理 设总体分布函数为F (x) ，经验分布函数为Fn(x) ， 则 三. 样本的数字特征 四. 统计量 设X1, X2, ?, Xn是总体X的样本，若函数 g ( X1, X2, ?, Xn )不含任何未知参数， 则称函数g ( X1, X2, ?, Xn )为一个统计量。 1.2 抽样分布 分布函数的分位点 四大统计分布 正态总体的抽样分布定理 一. 分布函数的分位点 分位点 设统计量U服从某分布，如果对于? (0?1) 有 P ( U U? ) = ? 则称U?为该分布的上?分位点。 二. 四大统计分布 定义：设总体X ~ N(0,1)，X1, X2, ?, Xn是X的样本统计量?2定义为 ② ?2分布的可加性 若?12 ~ ?2(n1)， ?22 ~ ?2(n2)且相互独立， 则 ?12 + ?22 ~ ?2(n1 + n2) 定义：设X ~ N ( 0, 1 )，Y~ ?2 ( n )，且X, Y相互独立， 定义：设U ~ ?2(n1)，V~ ?2(n2)且U, V相互独立， 三.正态总体的抽样分布定理 设总体X~N(? , ?2)，X1,X2,?,Xn是其样本 结论1,2 的证明 设有两个独立正态总体X ~N (?1,?12 ),Y ~N (?2,?22 ) X的样本为X1,X2,?,Xn1，Y的样本为Y1,Y2,?,Yn2， 它们的样本均值及样本方差分别为 * * * 第一章 样本与抽样分布 1. 总体和个体 总体：研究对象的全体，用随机变量X表示。 个体：总体的每个单元。 2. 样本与样本值 样本值 样本的取值，即样本的观察值x1, x2 , ? , xn 简单随机样本 ( 1 ) 每个个体Xi与总体X同分布； ( 2 ) 个体之间相互独立。 且F* (x1, x2 ,?, x n) = F (x1 ) F (x2 )?F (xn ) f* (x1, x2 ,?, xn) = f (x1 ) f (x2 )?f (xn ) 设总体X的分布函数为F ( x ),概率密度为f ( x )，则 例 称Fn (x) 为经验分布函数。 即 当n 很大时， F n ( x ) ? F ( x ) 1. 样本均值 2. 样本方差 3. 样本标准差 4. 样本的 k 阶原点矩 5. 样本的 k 阶中心矩 由大数定律可知 定理 样本的数字特征依概率收敛到总体的数字特征 样本均值 总体均值 E ( X ) P n→∞ 样本方差 总体方差 D ( X ) P n→∞ 样本矩 总体矩 P n→∞ 如 样本均值, 样本方差, 样本矩 经验分布函数F n ( x ) F(u) u o 抽样分布 统计量的分布。 U? 面积 = ? 1. 正态分布 u? 设 X ~ N(μ, σ2), 则U = ( X-μ) /σ ~ N ( 0, 1 ) ? u o 记标准正态分布的分布函数为?(u), 分位点为u? P ( U u? ) =? P ( U ≤ u? ) =1 －? = ? ( u? ) ? 1 －? 例如 求 u 0.05 由于 1 －? = 0.95 查表 ?(1.645) = 0.95 所以 u 0.05 = 1.645 称 ?2 服从自由度是 n 的卡方分布。 2. ?2 (卡方)分布 概率密度为 ?2 分布的性质 ① E ( ?2(n ) ) = n， D ( ?2(n) ) = 2 n ③ 当 n = 1时，?2 ( n ) 为?分布, 当 n = 2时，?2 ( n ) 为指数分布。 当n ＞ 45时, 利用以下近似公式计算 ?2 分布的分位数计算 ?2 x o ??2(n) ? ① 当n ≤ 45时, 可直接