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部分结论回顾: 例1 试判别向量组 的线性相关性。 §3.3 向量组的秩和最大无关组 引言 本节讨论 (1) 向量组的等价 (2) 向量组的秩和最大无关组 (3) 矩阵的秩与向量组的秩的理论 第三章 向量的线性相关性和秩 第*页 定理 3 若 线性相关， 则 也线性相关。 定理 4：略 定理 4/：略 定理 5 设有两个列向量组 即向量 是由 添加一个分量而得，若向量组 A 线 性无关，向量组 B 也线性无关。 推论 r 维向量组的每个向量添上 n-r 个分量，成为 n 维 向量组。若 r 维向量组线性无关，则n 维向量组亦线性 无关；反过来，若 n 维向量组线性相关，则 r 维向量组 亦线性相关。 注 1) 定理的结论对行向量情形同样成立。 2) 此定理是从矩阵的角度来判断向量组的相关性, 无论 在理论上还是在计算中都经常被用到. 定理 6 向量组 线性相关的充分必要条 件是它们所构成的矩阵 的秩 小于向量的个数 m, 即R(A)m, 该向量组线性无关的充 分必要条件是 R(A)=m. 利用上章定理 8 (见后附注)可以得到如下的重要结论: 3) 用此定理可以给出前面定理3~5的另一种证法. 附注: 解 记 因为 3 阶子式 显然，用 定理 6 判 别相关性 十分简单 下面来看定理6的几个推论，它们都是经常要用到的，大家应能熟记之。 推论 1 n 个 n 维向量线性无关的充要条件是它们所构 成的方阵的行列式不等于零。 推论 2 当 mn 时，m 个 n 维向量 一定线性相关。 特别 n+1个n维向量必相关。 例 2 证明 n 维单位坐标向量组 线性无关。 证 记 解 对A，行：3个2 维向量，必相关。 列：2个3 维向量，可考察 2 阶子式 因为 对B，行、列皆为3个3维向量，考察其行列式。 例 3 讨论下列矩阵的行、列向量组的线性相关性。 对C，列：4个3 维向量，必相关。 行：3个4 维向量 R(C)=23, 故 C 中行向量组线性相关。 □ 因为 R(B)=3，故 B的行、列向量组皆线性无关。 已知向量组 线性相关，求 t 值。 练 习 解题提示：矩阵 的秩 R(A)3, 故 3 阶子式应全为零，特别 定义4（向量组等价） 3.3.1 向量组的等价 设有两个向量组 如果向量组 A中的每一个向量都能由向量组B中的向量线性表示，则 称向量组A能由向量组B线性表示。 如果向量组A能由向量组B线性表示且向量组B也能由向 量组A线性表示，则称向量组A与向量组B等价。 结论 向量的等价关系具有下述性质： ⑴ 反身性 A组与A组自身等价； ⑵ 对称性 若A组与B组等价，则B组也与A组等价； ⑶ 传递性 若A组与B组等价，B组与C组等价，则A组 与C组等价。 证 ⑴，⑵是显然的。为证⑶，我们先介绍一个结论。 结论 A 组向量能由 B 组向量线性表示 (其中A组、B组向量构成的矩阵也分别记为A、B) 证：（仅证行向量情形） 因为A组能由B组线性表示，故存在数 结论 A 组向量能由 B 组向量线性表示 使 即 类似证列向量的情形。 证毕 结论 A 组向量能由 B 组向量线性表示 ⑶ 传递性 若A组与B组等价，B组与C组等价， 则A组与C组等价。 证 （不妨设为行向量情形） 证毕 因 A 组与 B 组等价，故存在矩阵 K1、T1， 使得 A= K1B，B=T1 A， 又 B 组与 C 组等价，故存在矩阵 K2、T2 ， 使得 B= K2C，C=T2 B， 于是有