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概率论与数理统计第2版资源-宗序平 主编 概率统计74
7.4 区间估计 五、双正态总体方差比的置信区间 * * 计量 定义 给定值?(0 ?1),若由样本X1, …, Xn确定的两个统 设总体X的分布函数F(x; ?)含有未知参数? ,对于 使 注:F(x;? )也可换成概率密度或分布律。 分别称为置信度为1??的置信下限与置信 上限。 则称随机区间 为? 的置信度为1??的 置信区间. 一、利用切比雪夫不等式求均值的置信区间 如果总体分布未知,方差已知,则可用切比雪夫不等式来求均值的置信区间。 例1. 某灯泡厂某天生产了一大批灯泡,从中抽取了 10个进行寿命试验,得数据如下(单位:h) 1050?? 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200 已知这天生产的灯泡寿命的方差为8,试求以95% 以上概率认为灯泡的平均寿命的置信区间? 解 设X表示这天灯泡的寿命,由已知得D(X)=8,由于X 的分布未知,可用比雪夫不等式来求均值的置信区间。 即 (1143, 1152)。 EX的置信区间为(1147-4, 1147+4), 即 二、 正态总体均值参数的区间估计 1、?2已知 1-? (1-?)? ?? 1-? ?的置信度为1??的置信区间为 注:?的1??置信区间不唯一。 都是?的1??置信区间.但?=1/2时区间长最短. 例2(续例1) 某灯泡厂某天生产了一大批灯泡,从 中抽取了10个进行寿命试验,得数据如下 (单位:h) 1050?? 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200 已知这天生产的灯泡寿命服从正态分布且方差为8,试求以95%以上概率认为灯泡的平均寿命的置信区间? 解 可见选取同样大小的样本,由于已知总体这一信息,求出的结果比用契比雪夫不等式估计的结果要精确。 利用公式,得到的置信度为95%的置信 区间为 求正态总体参数置信区间的解题步骤: (1)根据实际问题构造样本的函数,要求仅含待估参数且分布已知-----枢轴量; (2)令枢轴量落在由分位点确定的区间里的概率为给定的置信度1??,要求区间按几何对称或概率对称; (3)解不等式得随机的置信区间; (4)由观测值及?值查表计算得所求置信区间。 例3 某厂用自动包装机包装奶粉,每袋净重 xi(单位:g), i=1,2,…,10,计算得 试求?的置信度为95%的置信区间. 现随机抽取10袋,测得各袋净重 解 ?=0.05,u?/2=1.96,n=10,?=5 即(498.910, 505.099). 故均值的置信度为95%的置信区间为 2、?2未知 ?的1-?置信区间为 1-? 即得 例4 有一大批糖果, 现随机地从中取16袋,称 得重量(单位:g)如下 506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512 514, 505, 493, 496, 506, 502, 509, 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求 总体均值?的置信区间(?=0.05). 解 这里1-?=0.95, 查表得t0.025(15)=2.1315, 由给出的数据算得: s=6.2022. 则?的置信度为0.95的置信区间为 即(500.4,507.1) 在实际问题中,总体方差未知的情况居多. 三、单正态总体方差的置信区间 假定μ未知, 设 给定置信度1-?,由 观测值x1,x2,…, xn求?2或?的置信区间。 ?2的置信度为1??的置信区间为 ?的置信度为1??的置信区间为 四、双正态总体均值差的置信区间 其中 可解得?1- ?2 的置信区间 假定?1,?2未知 * * *
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