概率论与数理统计第2版资源-宗序平 主编 概率统计32.pptVIP

3.2.边缘分布、条件分布与随机变量的独立性 1、离散型r.v.的边缘分布 三、随机变量的相互独立性 四．n维随机变量的边缘分布与独立性 总结 Ex9、 r.v.(X,Y) 分布律 3 2 1 2 0 -1 X Y 显然有 因此 X,Y相互独立。 讨论 X,Y独立性？ 定理2 设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是 f(x, y)=fX(x) fY(y) 证明 2、连续型随机变量的独立性 根据定义X,Y 独立的充分必要条件为: 其中h(x), g(y)分别为x, y函数. 推论 设(X,Y)是连续型随机变量，f (x, y)为(X, Y)的 概率密度函数，则随机变量X, Y独立的充分必要条 件为 f (x, y)＝h(x) g(y) f(x, y)=fX(x) fY(y) EX10 已知随机变量(X,Y)的分布律为 且知X与Y独立，求a、b的值。 b a 1 0.15 0.15 0 2 1 Y X 例11 设(X,Y)服从N(?1, ?12 , ?2, ?22, ?)，证明 X与Y相 互独立的充要条件是?＝0. 证明 必要性: (X, Y)的概率密度函数为 关于X及Y的边缘概率密度为： 因X, Y相互独立, 则 当x= ?1, y＝ ?2时, 有 充分性 当? ＝0时, 显然对于任意的x, y均成立, 则X,Y相互独立. 定义：对任意的Borel点集B1,B2,?, Bn,有 则称X1,X2,…,Xn相互独立。 结论1 设n维随机变量(X1，X2，…，Xn)的分布函数为F(x1,x2,…,xn), (X1,X2,…,Xn)的k（1?kn)维边缘分布函数就随之确定，如关于(X1，X2）的边缘分布函数是 FX1,X2（x1,x2)=F(x1,x2,??,?...?) 若关于Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n. 则X1,X2,...Xn 相互独立。 则离散型随机变量X1, X2, …, Xn相互独立。 数i1, i2, …, in及实数 有 结论2 (1)对于离散型随机变量的情形，若对任意整 (2) 设X1，X2，…，Xn为n 个连续型随机变量，若对任意的(x1, x2, …, xn)?Rn， f (x1, x2, …, xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn) 几乎处处成立，则X1，X2，…，Xn相互独立。 结论3 设n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数为FX(x1,x2,...xn)；m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)的分布函数为FY(y1,y2,…ym), X1,X2,…,Xn, Y1,Y2,…Ym组成的n+m维随机变量（X1, X2,…,Xn, Y1,Y2,…Ym)的分布函数为F (x1,x2,...xn, y1,y2,…ym). 则n维随机变量(X1,X2,…,Xn)与m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)独立。 如果 F (x1,x2,...xn ,y1,y2,…ym)= FX(x1,x2,...xn) FY(y1,y2,…ym) 定理1 设 (X1,X2,…,Xn) 与 (Y1,Y2,…Ym) 相互独立,则 (1)Xi (i=1, 2, …, n))与Yj (j=1, 2, …, m)相互独立； (2)若h, g是连续函数，则h(X1,X2,…,Xn)与 g(Y1,Y2,…Ym)相互独立. Th2 设X1,X2,…,Xn为相互独立的随机变量，则 也是相互独立的，这里 Pf: 对任意的一维Borel点集 有 是任意的一元Borel可测函数。 * * 3.2.边缘分布、条件分布 与随机变量的独立性 二维随机变量(X, Y)的分布函数F(x, y)描述了 X,Y这两个随机变量组成的整体的统计规律. 这个整体是由X和Y组成的, 所以在(X,Y)的分 一、边缘分布函数 问题：由(Ｘ,Ｙ)的分布导出Ｘ或Ｙ的分布． FX(x), FY(y), 边缘分布函数可以由(X ,Y)的分 布函数F(x, y)中, 包含了关于X和Y的一切信息, 也包含了X与Y之间关系的一切信息. 我们称 其分量X及Y的分布函数为二维随机变量(X, Y) 关于X及关于Y的边缘分布函数, 分别记作 布函数F(x, y)来确定. 称为二维随机变量(X, Y)关于Y 的边缘分布函数. 称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数； 定义 例1.已知(X,Y)的分布函数为 求FX(x)与FY(y)。 则其分布函数为 若随机变量X与Y的联合分布律为 (X,