概率论与数理统计第2版资源-宗序平 主编 概率统计13.pptVIP

* * 主讲 宗序平 《概率论与数理统计》 柯尔莫哥洛夫 ( A. H. Колмогоров1903-1987 ) 1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意,荷,英,德 等国的外籍院士 及皇家学会会员. 为 20 世纪最有影响的俄国数学家. 俄国数学家 概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年建立. §1.3 概率的公理化定义 柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一 系列重要分支作出重大贡献. 他建立了在测度论基础上的概率论 公理系统, 奠定了近代概率论的基础. 他又是随机过程论的奠基人之一, 其主要工作包括: 20年代 关于强大数定律、重对数 律的基本工作; 1933年在《概率论的基本概念》 一文中提出的概率论公理体系(希尔伯 特第6问题) 30年代建立的马尔可夫过程的两 个基本方程; 用希尔伯特空间的几何理论建立 弱平稳序列的线性理论; 40年代完成独立和的弱极限理论, 经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等; 在动力系统中开创了关于哈密顿系 统的微扰理论与K系统遍历理论; 50年代中期开创了研究函数特征的 信息论方法, 他的工作及随后阿诺尔德 的工作解决并深化了希尔伯特第13问题 ——用较少变量的函数表示较多变量的 函数 ; 60年代后又创立了信息算法理论; 1980年由于它在调和分析, 概率论, 遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作 获沃尔夫奖; 他十分重视数学教育,在他的指引 下,大批数学家在不同的领域内取得重 大成就.其中包括и.M.盖尔范德,B.и. 阿诺尔德, Я.Г.西奈依等人. 他还非常重视基础教育, 亲自领导 了中学 数学教科书的编写工作. 一个实数P ( A )与之对应, 且P(A)满足 非负性： 规范性： 可列可加性： P(A)称为事件 A 的概率。 一、定义 设 ? 是随机试验T 的样本空间，若能找到 为两两互不相容事件， 其中 一个法则，使得对于T 的每一事件A?? ,总有 P(A)是事件A的函数，自变量为事件A，其 称(?, ?,Ｐ)为概率空间. ｝值域为［0,1］. 定义域为｛A｜A ? 二、概率的性质 性质1 P(?)=0 性质2 (有限可加性) 设 两两互不 性质3 性质4 (可减性) 相容，则 (单调性) 性质5.(加法公式) 对任意两个事件A, B, 有 推广： 半可加性 加法公式 加法公式 一般： 半可加性 右端共有 项. 加法公式 例1 对任意两个事件A, B, 有 B A B=AB+(B – A) P(B)=P(AB)+ P(B – AB) B - AB AB 应用性质2 例2 P(A)=1/4, P(B)=1/2, 就下列三种情况 解(1) P(B－A)=P(B)=1/2 (2) P(B－A)=P(B)－P(A)= (3) P(B－A)=P(B)－P(AB)= (1)A与B互不相容； (2) 求P(B－A). 由于A与B不相容，即 (3) P(AB)=1/8 应用例1 例3 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在什么条件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？ 解 —— 最小值 —— 最大值 最大值在 时取得. 最小值在 时取得. 例4一只口袋中有45只白球，5只黑球，今从中任取3只球，求其中有黑球的概率. 这个问题也可用如下的方法： 解 以A表示“取出的3只球中有黑球”, A i分别表示“取出的3只球中有i只黑球”, i=1, 2, 3, 显然A＝A 1∪A 2∪A 3, 且A 1, A 2, A 3两两互不相容 球全为白球” ，则 表示“取出的三个 解: 例5(几何概型)一口袋中装有N-1只黑球及一只白 球,每次从中随机地摸出一球,并换入一只黑球,这 样继续下去,问第k次才摸到白球的Pr等于多少? 性质6. (连续性) 对任意的单调事件组 有 称概率P是连续的。 则称m是下连续的。 定义 对事件域?上的非负集函数m，若对? 的非降的事件组 ，即 有 则称m是上连续的。 同理 对事件域?上的非负集函数m，若对? 的非增的事件组 ，即 m既是下连续的又是上连续的，则称m是连续的。 引理：m是?上非负、规范的集函数，则m具有 可列可加性的充