[数学]导数与微分.ppt

 补充:试由导数定义，证明：若f(x)为可导的偶数，则 . 证： 为偶函数 即 ,故 解 6． 试求曲线y= 在点(0，1)及点(-1，0)处的切线 故曲线在(0,1)点的切线斜率 解 方程和法线方程. 曲线在(0,1)点的切线方程为 即 即 法线方程为 又 此时，曲线具有垂直于x轴的切线 x=-1, 其法线为 y=0. 7． 设f(x)可导，求下列函数y的导数 (1) y=f(x2)；(2) y=f(sin2x)+f(cos2x)． 解：(1) (2) 练习 求下列函数的导数 8． 求下列隐函数的导数： (4) ln(x2+y2)=2arctan ; 解 方程两边对x求导，得： 即 即 即 2※． 设y= ,a≠0，求y(n)，并由此求f(x)= 的n阶导数f(n)(x)． 解： . 6． 已知f″(x)存在，求 (1)※ y=f(x2)；(2) y=lnf(x),f(x)＞０． 解：(1) (2) 1． 在括号内填入适当的函数，使等式成立： (1) d( )＝costdt; (2) d( )＝sinωxdx; (3) d( )＝ dx; (4) d( )＝ (5) d( )＝ (7) d( )＝ lnxdx; (8) d( )＝ dx． dx； dx; (6) d( )＝sec ３xdx; ２ 2． 根据下面所给的值，求函数y=x２＋１的Δy,dy 及Δy-dy： (1) 当x=1,Δx=0．1时； (2) 当x=1,Δx=0．01时． 解： (1)当 时， (2)当 时， 5． 利用微分求下列各数的近似值： (1) 解 设 ，则 令 ， 则 例7 设 例8 解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立. 练 习 题 高阶 *五、 高阶微分(略） 可微函数y=f(x)的微分dy=f?(x)dx仍是自变量x的一个函数(这里dx与x是互相独立的,因而可以把dx看成是与x无关的量),如果它是可微的,则它的微分d(dy),就称做函数y=f(x)的二阶微分,记为d2y,即 d2y=d(dy)=d[f?(x)dx]=d[f?(x)]dx=f?(x)(dx)2． 为简便起见,对k∈N, 记(dx)k＝dxk.因此上式可写作 d2y=f?(x)dx2． 如果d2y仍可微，那么它的微分d(d2y)称做y=f(x)的三阶微分,记为d3y,即 d3y=d(d2y)=d[f?(x)dx2]=f?(x)dx3． 当自变量为x时,定义函数y=f(x)的n阶微分为 dny=d[dn-1y]=f(n)(x)dxn． 注意区别以下这几种记号的不同意义： dyn表示微分dy的n次方,即dyn=(dy)n. d(yn)表示yn的一阶微分. dny表示y的n阶微分. 注意:一阶微分具有微分形式不变性.即:无论u是自变量还是中间变量,函数y=f(u)的微分形式都是一样的,且为 dy=f?(u)du d2y=d[f?(u)du]=d(f?(u))du+f?(u)·d(du) =f?(u)·du2+f?(u)d2u． 因为 但是高阶微分不再具有微分形式的不变性． 例 解 第五节 导数与微分在经济学中的应用 一、 边际分析 设y=f(x)为一经济函数,当经济自变量x有一个很小的改变量?x时,因变量的相应改变量为?y,那么,因变量y的相应改变量?y与?x的比值 (平均变化率)称为经济函数y=f(x)在区间[x,x+ ?x]上平均意义上的边际, 如果函数y=f(x)在点x可导,则称f?(x)= (瞬时变化率)为f(x)在点x处的边际． 边际f?(x)的经济含义: ?y=f(x+?x)