反例在中学教学课堂教学中的作用.docVIP

反例在中学数学教学中的应用举例 1.反例在中学代数教学中的应用举例 1.1 集合 在集合的学习中, 很多学生对于集合的基本定义理解的不透彻, 以至于做题时出现不可避免的错误, 对此, 在集合的教学过程中, 要恰当运用反例, 加深学生对集合定义及应用的印象, 使学生在学习过程中达到更好的效果. 把具有某种属性的一些对象看作一个整体便形成了一个集合．集合里的各个对象叫做集合的元素[5]. 集合中的元素具有确定性的特征. 即, 设是一个给定的集合, 是某一具体对象, 则是的元素, 或者不是的元素. 集合中的元素具有互异性的特征. 即, 属于一个集合的元素是互不相同的个体或对象. 因此, 同一个集合中不应重复出现同一个元素. 例1 不是集合的正确表示, 因为其中出现了重复的元素2, 应把它写成. 用描述法表示集合的一般形式为, 其中竖线前面的表示集合的元素的一般形式, 竖线后面的表示元素具有的公共属性. 例2 写出不等式的解集, 并进行化简. 错解: 不等式的解集为. 以上结果是错误的. 因为表示以不等式为元素的集合, 而不能表示不等式的解集. 正解是: 不等式的解集为. 上例说明, 由于只写出集合的元素的公共属性, 而未写出集合的元素的一般形式, 从而造成了将集合表述为型的错误. 例3 “任何集合都有真子集”的说法不成立. 反例: 空集没有真子集. 1.2 映射与函数 在中学映射与函数的学习中, 由于学生对基本知识理解不透彻, 通常会出现或多或少的错误认识, 教师在教学中要灵活运用反例, 向学生解答重难点, 对于学生出现的错误, 用反例可以运用逆向思维锻炼学生的思考方式. 设是两个集合, 如果按照某种对应法则, 对于集合中的任何一个元素, 在集合中都有唯一的元素和它对应, 这样的对应叫做从集合到集合 的映射[5]. 例 1 设, 对应法则: , 若; , 这里. 不是一个集合到集合的映射. 因为, 这个固然替每一个不等于的都规定了一个唯一的对应值, 但不能决定是还是, 也就是说, 没有替规定一个唯一的对应值, 这与定义不符. 例 2 “如果是的函数, 那么随的变化而变化”是否正确? 解: 不正确. 反例1: , 当取不同值时, 有唯一确定的值与之对应, 所以是的函数, 但不论取何值, 的值始终不变. 反例2: 也是函数, 但不论取什么非负数, 的值始终不变. 例 3 说出“单调函数的和仍是单调函数”这一命题是错误的反例[2]. 解: 令 当, 且时, 可见与都是区间上的单调函数. 但却并非上的单调函数. 这一反例说明单调函数的和不一定是单调函数. 2 反例在中学几何教学中的应用举例 在几何教学中, 教师必须科学恰当的引入概念, 在教学中必须清晰地向学生讲解概念, 并在平时课堂练习、作业、考试中通过判断题、选择题等培养学生推理能力与空间想象能力．在命题的判断中，要举出令某个命题不成立的相关例子, 使学生存在的模糊概念得以纠正, 从而形成清晰的认知结构. 反例教学可以用来帮助学生纠正平时的错误概念, 培养学生思维的严谨性和批判性[6]． 2.1 数学反例对定义、定理或公式的强化理解 在立体几何概念的学习中, 很多学生对定义、定理中的关键性词句缺乏领会, 不善于理解掌握概念的本质属性, 以至于经常出现理解上的混乱或应用上的失误. 对此, 教师在课堂教学中, 不但要使用正面的例子对其进行阐述并加深印象, 而且要善于借助反例灵活且具有说服力的否定来澄清学生的片面认识, 强化对概念的理解, 这样往往能起到正面例子难以起到的作用[7]. 例如, 常有学生认为: “圆锥过两条母线的截面中, 以轴截面的面积为最大”为此, 用以下反例就能深化学生对本条命题的认识. 如图 2 所示, 为圆锥的轴截面, 是过母线所作的截面, 从题设知隐含着下列数量关系: . 由题知, , 即. 由, 上式可化简为, 因此, 当时, 上式必成立, 当时上式不一定成立. 所以, 有反例: 当时, 时, 就有: . 2.2 数学反例对错误命题的否定 在平面解析几何的学习中, 我们对于一些命题的判定通常会考虑的不全面, 对于这种情况教师在教学中可以通过举一些反例来否定命题. 通过运用反例的否定来帮助学生认识到自己的错误, 从而达到纠正的效果. 例如, “任意三角形, 则覆盖此三角形的最小圆是它的外接圆”此命题是否正确? 解: 所给命题对直角三角形及锐角三角形都成立, 但对