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设计创意平板折叠桌的数学模型 摘要 在研究固定尺寸折叠桌的折叠机理的基础上，建立了折叠过程仿真模型，利用仿真模型画出了折叠过程中的状态图，在此基础上建立了优化平板长度和钢筋位置的优化模型，使得按优化后模型设计的折叠桌具有高稳定性、易加工和用料少的特性，最后对优化模型进行了推广，给出了能满足用户定制的设计模型，利用桌面为椭圆和扇形的折叠桌定制进行了仿真，从仿真结果看改模型能较好的满足用户的定制需求。 针对问题1，首先建立了动态模拟折叠过程的仿真模型，依托该模型绘制出了8种状态下折叠桌的图形如图4所示，并计算出了每根木条的开槽的起始位置和长度如表1所示；其次利用该模型算出的桌角边缘线的坐标如表3所示，并建立了边缘线对应的参数方程。 针对问题2，通过对折叠桌稳固性的分析，利用力矩平衡原理，得出当桌子四个角所围成的支撑面对应的四边形恰好是桌面投影面的外接四边形时，桌子是最稳固的，具体情形如图6所示。利用该原则，建立了求解平板最优长度的数学模型，通过数值模拟发现所有木条开槽长度总和随钢筋位置下移而单调递减，因此判断当钢筋到达中间木条的最下端时，木条开槽的总和最小，即加工最方便，从而建立了计算钢筋位置的数学模型。并给出了相应的开槽长度。最后应用上述优化模型对桌高为70 cm、直径为80cm进行了验证，算得平板长度为：161.2452cm 钢筋位置为：40.9178cm 相应的开槽尺寸如表5所示，并绘制出了对应的8个状态下的折叠桌的示意图，具体情形如图7所示。 针对问题3，将问题2所建模型中的圆形桌面方程替换成任意图形桌面方程，建立了所给的桌面尺寸、高度以及桌角边缘线与问题2相关参数对应的数学模型，将定制参数转换成可设计参数，如利用桌面图形的外接四边形和高来计算平板的长度，利用底角边缘的最高点和其它尺寸计算钢筋位置等。最后利用对称的椭圆桌面和不对称的扇形桌面，对定制模型进行测试，利用该模型算出了两种桌面的最优设计参数和动态仿真图。椭圆桌面仿真图如图9所示、扇形桌面仿真图如图10所示。在附录1中给出了扇形桌面18种状态的仿真图。从测试结果看，所给模型能较好的满足用户的定制需求。 关键词：折叠桌，稳固性，力矩平衡，定制 一、问题重述 某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线的描述。 问题3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。 二、问题分析 创意平板折叠桌作为一项创新产品而出现，由于经济、环保、工艺等因素的制约，就需要我们合理的设计木板的长宽、槽长及位置、木条的宽度等参数，稳定性问题要求要有合理的设计木板的最大展开角度、钢筋的位置。这些参数的合理设计对于生产生活都是非常重要的。 因此研究固定尺寸折叠桌的折叠机理的基础上，建立了折叠过程仿真模型，利用仿真模型画出了折叠过程中的状态图，在此基础上建立了优化平板长度和钢筋位置的优化模型，使得按优化后模型设计的折叠桌具有高稳定性、易加工和用料少的特性，最后对优化模型进行了推广，给出了能满足用户定制的设计模型，利用桌面为椭圆和扇形的折叠桌定制进行了仿真，从仿真结果看改模型能较好的满足用户的定制需求。 针对问题1，首先建立了动态模拟折叠过程的仿真模型，依托该模型绘制出了8种状态下折叠桌的图形如图4所示，并计算出了每根木条的开槽的起始位置和长度如表1所示；其次利用该模型算出的桌角边缘线的坐标如表3所示，并建立了边缘线对应的参数方程。 针对问题2，通过对折叠桌稳固性的分析，利用力矩平衡原理，得出当桌子四个角所围成的支撑面对应的四边形恰好是桌面投影面的外接四边形时，桌子是最稳固的，具体情形如图6所示。利用该原则，建立了求解平板最优长度的数学模型，通过数值模拟发现所有木条开槽长度总和随钢筋位置下移而单调递减，因此判断当钢筋到达中间木条的最下端时，木条开槽的总和最小，即加工最方便，从而建立了计算钢筋位置的数