人口模型(马尔萨斯vslogistic)PPT.pptVIP

人口模型 微分方程模型 在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题. 本节将通过一些最简单的实例来说明微分方程建模的一般方法。在连续变量问题的研究中，微分方程是十分常用的数学工具之一。 求出方程的解 ——求出未知函数的解析表达式 ——利用各种数值解法、数值软件（如Matlab）求近似解 不必求出方程的解 ——根据微分方程的理论研究某些性质，或它的变化趋势 把未知变量表示为已知量的函数——跟已知量的导数有关 为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。 本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。 美丽的大自然 种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。 离散化为连续，方便研究 § 4.1 Malthus模型与Logistic模型 美丽的大自然 哇！ § 4.1 Malthus模型与Logistic模型 世界人口 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口（亿） 5 10 20 30 40 50 60 中国人口 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000 人口（亿） 3 4.7 6 7.2 10.3 11.3 12.95 模型1 马尔萨斯（Malthus）模型 假设：人口净增长率r是一常数 （4.2） （3.1）的解为： 符号： 则 （4.1） 于是x（t）满足如下微分方程： 模型检验 用P61给出的近两个世纪的美国人口统计数据（以百万作单位），对模型作检验。 参数估计： r，x0可用已知数据利用线性最小二乘法进行估计 （4.2） （4.2）式两边取对数，得： （4.3） 以1790－1900年的数据拟合（4.3）式，用Matlab软件计算得：r＝0.2743/10年， Matlab计算示范 以1790-1900年共计12个数据为例进行拟合： t=[0：11]； %输入数据 x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76]; plot (t, x, ’o’); %画散点图 y=log(x); p=polyfit(t,y,1) （4.3） 输出结果： 表示： 模型预测 假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，而到2670年，人口达36×1015个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。 故马尔萨斯模型是不完善的。 几何级数的增长 Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。 所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。 练习一：用P61的部分或者全部数据拟合Malthus模型， 计算并作图，观察并分析结果。 模型2 Logistic模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(x) 从而有： （4.4） r(x)是未知函数，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求 。 为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。 r(x)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项） 对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(x)=r-ax 此时得到微分方程： 或 （4.5） （4.5）被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当