椭圆的热点问题(二).docVIP

椭圆的热点问题（二） 一 定点问题 例1.如图，在平面直角坐标系中，椭圆：若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 证明：直线的斜率为，直线的斜率为, 则直线的方程为， ==， 所以直线过定点． 例2.已知椭圆的离心率为，且过点，记椭圆的左顶点为 （1）求椭圆的方程； （2）设垂直于轴的直线交椭圆于，两点，试求面积的最大值； （3）过点作两条斜率分别为，的直线交椭圆于，两点，且，求证：直线恒过一个定点. 变式训练1.已知椭圆的上顶点为M（0，1），过M的两条动弦MA、MB满足MA⊥MB。对于给定的实数，证明：直线AB过定点。 解：由知，从而直线与坐标轴不垂直， 故可设直线的方程为，直线的方程为 将代入椭圆的方程，整理得 解得或，故点A的坐标为 同理，点B的坐标为 知直线的斜率为= 直线的方程为，即 直线过定点出发，经直线l:上一点反射后，恰好穿过点． 点的坐标； （2）求以、为焦点且过点的椭圆的方程； （3）设点是椭圆上除长轴两端点外的任意一点，试问在轴上是否存在两定点、，使得直线、的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点、的坐标；若不存在，请说明理由．（13安徽理）设椭圆的焦点在轴上(Ⅰ)若椭圆的焦距为1,求椭圆的方程;(Ⅱ)设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上的第一象限内的点,直线交轴与点,并且,证明:当变化时,点在某定直线上.解: (Ⅰ).(Ⅱ) . 由. 所以动点P过定直线. 例1.（13浙江理）如图,点是椭圆的一个顶点,的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线,其中交圆于两点,交椭圆于另一点 (1)求椭圆的方程; (2)求面积取最大值时直线的方程. 解:(Ⅰ)由已知得到,且,所以椭圆的方程是;(Ⅱ)因为直线,且都过点,所以设直线,直线,所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截的弦; 由,所以,所以, 当时等号成立,此时直线 13新课标Ⅱ理）平面直角坐标系中,过椭圆的右焦点作直交于两点,为的中点,且的斜率为. (Ⅰ)求的方程; (Ⅱ)为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值. 已知椭圆，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切． (I)求椭圆C的方程； (II)设P(4，0)，M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围； 解：(1)由题意知 所以， 又因为， 故椭圆C的方程为6分 (II)由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为得① .........10分，得 …………………13分 k=0不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是：14分一动圆与圆内切． (I)求动圆圆心M的轨迹L的方程． (Ⅱ)设过圆心O1的直线L相交于A、B两点，请问O2为圆O2 N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若 解：(1)设动圆圆心为M(x，y)，半径为R． ， （3分） M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a=2，c=1， M的轨迹L的方程为6分） (2)如图，设N的半径为r，与直线l的切点为C，则三角形 当最大时，r也最大，7分） 、， 则 （分） ，得， 解得，， (10分) ，则t≥1，且m2=t2-1， ，令，则， 当t≥1时，f(t)在[1，+∞）上单调递增，有， 即当t=1，m=0时，4r有最大值3，得， ∴存在直线的内切圆M的面积最大值为(14分)14·四川已知椭圆C：＋＝1(ab0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． (1)求椭圆C的标准方程． (2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q. 证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)； 当最小时，求点T的坐标． 解：(1)由已知可得解得a＝6，b＝2， 所以椭圆C的标准方程是＋＝1. (2)①证明：由(1)可得，F的坐标是(－2，0)，设T点的坐标为(－3，m)， 则直线TF的斜率k＝＝－m. 当m≠0时，直线PQ的斜率k＝直线PQ的方程是x＝my－2. 当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式． 设P(x，y)，Q(x，y)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得 消去x，得(m＋3)y－4my－2＝0， 其判别式Δ＝16m＋8(m＋3)0.所以y＋y＝，y， ＋x＝m(y＋y)－4＝ 设M为PQ的中点，则M点的坐标为 所以直线OM的斜率k＝－，又直线OT的斜率k＝－， 所以点M在直线OT上，因此O