一道质检题的多种解法2016.3.docx

一道质检题的多种解法 下题是本地一道质检题，为原创题﹒该题设计精巧，涉及多方面知识，有多种解法﹒如图1，在四边形中，，，，，，求和的长度﹒ 图1解法1：在中，由余弦定理得： ， ∴﹒∵，，∴﹒由正弦定理可得：﹒在中，由余弦定理得：，﹒ ﹒在中，由余弦定理得： ， ∴﹒点评：的长度可以直接用余弦定理求出﹒求长度的关键是求出的余弦值，为和的和，易求为，用余弦定理可以求出的余弦值，再用平方关系求出的正弦值，后用两角和的余弦公式求出﹒解法1涉及到等腰三角形的性质、正弦定理、余弦定理、两角和的余弦公式、正弦和余弦的平方关系等重要知识，是一种通法，常规解法﹒解法2：同解法1可得：，﹒在和中，由余弦定理得： ， ，∴﹒ ①在四边形中，，∴﹒又，①式可以化简为：，求得：﹒∴ ， ∴﹒点评：解法2推出和互补，它们的余弦值互为相反数，和有一条公共边，在和中分别用余弦定理表示出，得出和的关系式，再求出，解法2为了简化运算，求出这个整体的值﹒发现和互补，利用它们的余弦值互为相反数和余弦定理构造方程是解法2的关键。解法3：同解法1可得：，，﹒ ∵， ∴、、、四点共圆， ∴﹒同解法1可得：，﹒ ﹒在中，由正弦定理得： ， ﹒点评：解法3的关键是证明、、、四点共圆，利用同弧上的圆周角相等推出，再利用两角和的正弦公式求出的值，后用正弦定理求出的长度﹒四点共圆的判定证明在初中已不作要求，但在高中选修4-1已学过，是一个重要知识，要会用它来解决数学问题﹒解法4：同解法3得：﹒在中，由余弦定理得：，﹒整理得：﹒求得：或﹒∵，∴﹒又，∴，﹒故不合题意，舍去﹒∴﹒点评：同解法3，解法4的关键是证明、、、四点共圆，利用同弧上的圆周角相等推出.解法4直接用余弦定理求解，比解法3简单，但出现了两解，需检验舍去增解﹒解法5：同解法1可得：，﹒ 同解法3可证：、、、四点共圆﹒ 由托勒密定理得： ， ， 求得：﹒点评：解法5运用托勒密定理直接求解，非常简洁！一般学生不知道托勒密定理，想不到此法﹒学生通过学习解法5可了解托勒密定理及应用。