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7用合同变换法化 二次型为标准形
§7.用合同变换法化 二次型为标准形 * * 定义10. 若对方阵 A 作一次初等行变换，接着对所得矩阵作一次同种的初等列变换，就称对A 进行一次合同变换. 用合同变换法化二次型为标准形的实质是： 利用可逆线性变换 x=Cy ，把 f =x TAx 化为标准形，即 f=x TAx=(Cy) TACy=y TCT ACy=y T Λ y 只须 CT AC= Λ. 又因 C= P1P2 … Ps ,其中P 1，P 2， … ，P s 均为初等方阵.所以 （ P1P2 … Ps )TA P1P2 … Ps = Λ 即 PsT …P2T P1TA P1P 2 … P s = Λ (1) 而 PST …P2T P1T= PST … P2T P1TE=CT (2) 结合(1)和(2) , 得出将 A化成对角形矩阵，同时求出可逆矩阵C: (A | E) (Λ | CT) A合同变换 E作行变换 求出CT, 作可逆线性变换 x=Cy, 则该变换将f 化为标准形. f = k1y12+k2y22+…+kryr2。 用正交变换化 f 为标准形； 用配方法化 f 为标准形; 用合同法化 f 为标准形.
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