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65 复合函数微分法与隐函数微分法

§6.5 复合函数微分法与隐函数微分法 * 一、多元复合函数微分法 二、全微分形式的不变性 三、隐函数微分法 证 一、多元复合函数微分法 上式也称为链式法则 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 如 以上公式中的导数 称为全导数. 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况: 链式法则如图示 特殊地 即 令 其中 两者的区别 区别类似 解 例2 设 而 求 和 解 例3 设 求 和 解 解 令 记 同理有 于是 二、全微分形式的不变性 以二元函数为例, 设 是可微函数, 则由全微分定义和链式法则, 有 由此可见, 尽管现在的 是中间变量, 但全 微分 与 是自变量时的表达式 上完全一致. 这个性质称为全微分形式不变性. 适当应用这个性质, 会收到很好的效果. 在形式 即无论z是自变量u、v的函数或 中间变量u、v的函数,它的全微分形式完全是 一样的. (C为常数) 由全微分形式不变性可得到以下公式 (无论u、v是中间变量还是自变量) 例5 设 而 求 和 解 因 代入后归并含 的项, 及 得 比较上式两边的 的系数, 得 即 它们与例2的结果一样. 解 三、隐函数微分法 方程 隐含函数 的情形. 隐函数存在定理1 设函数 在点 的某一邻域内 且 则方程 在点 的某一领域内 导数的函数 它满足 并有 隐函数的求导公式 具有连续的偏导数, 恒能唯一确定一个连续且具有连续 证明略, 仅给出隐函数求导公式的推导: 1、 *

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