2015年相似三角形与圆.docVIP

相似三角形与圆 1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=1:3，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③；④S△DEF=4．其中正确的是　　（写出所有正确结论的序号）． 2．如图，AB是的直径，点C在上，过点C作的切线CM． （1）求； （2）延长BC到D，使BC = CD连接AD与CM交于点E若O的半径为3，ED = 2, 求?ACE的外接圆的半径． 3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD． （1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，，求的值． 如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M经过原点O及点A、B． （1）求⊙M的半径及圆心M的坐标； （2）过点B作⊙M的切线l，求直线l的解析式； （3）∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标． 如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF． （1）求证：PB与⊙O相切； （2）试EF2=4OD?OP； （3）若AC=12，，求CB的值． 6．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG?AB=12，求AC的长； （3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及A的值． 答案 1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=1:3，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③；④S△DEF=4．其中正确的是　①②④　（写出所有正确结论的序号）． 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．如图，AB是的直径，点C在上，过点C作的切线CM． （1）求； （2）延长BC到D，使BC = CD连接AD与CM交于点E若O的半径为3，ED = 2, 求?ACE的外接圆的半径． 证明：（1）连接OC∵ AB为⊙O的直径 ∴ ∠ACB = 90°∴ ∠ABC ＋∠BAC = 90° 又∵ CM是⊙O的切线∴ OC⊥CM∴ ∠ACM ＋∠ACO = 90° ∵ CO = AO∴ ∠BAC =∠ACO∴ ∠ACM =∠ABC （2）∵ BC = CD∴ OC∥AD又∵ OC⊥CE∴ AD⊥CE ∴ ΔAEC是直角三角形∴ ΔAEC的外接圆的直径为AC 又∵ ∠ABC ＋∠BAC = 90°∠ACM ＋∠ECD = 90° 而∠ABC =∠ACM∴ ∠BAC =∠ECD 又∠CED =∠ACB = 90°∴ ΔABC∽ΔCDE ∴ = 而⊙O的半径为3∴ AB = 6∴ = ∴ BC2 = 12∴ BC = 2 在RtΔABC中∴ AC = = 2∴ ΔAEC的外接圆的半径为 3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD． （1）求证：AD=CD；（2）若AB=10，=，求的值． 解答： （1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°， ∵OD∥BC，∴∠AEO=∠ACB=90°， ∴OD⊥AC，∴=，∴AD=CD； （2）解：∵AB=10，∴OA=OD=AB=5， ∵OD∥BC，∴∠AOE=∠ABC， 在Rt△AEO中，OE=OA?cos∠AOE=OA?cos∠ABC=5×=3， ∴DE=OD=OE=5﹣3=2， ∴AE===4， 在Rt△AED中，tan∠DAE===， DBC=∠DAE，tan∠DBC=． 如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M经过原点O及点A、B． （1）求⊙M的半径及圆心M的坐标； （2）过点B作⊙M的切线l，求直线l的解析式； （3）∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标． 解：（1）∵∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径， ∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6，∴AB==10， ∴⊙M的半径为5；圆心M的坐标为（4，3）； （2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，如图，∵BC与⊙M相切，AB为直径， ∴AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠CBO+∠ABO=90°， 而∠BAO=∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBO， ∴Rt△ABO∽Rt△BCO，∴=，即=，