[工学]数字信号处理第3章.pptVIP

第3章 离散傅里叶变换 3.1离散傅里叶级数（DFS） 3.2离散傅里叶变换（DFT） 3.3离散傅里叶变换的性质及定理 3.4频域抽样理论 3.5DFT的应用 （３）时域周期卷积定理 （４）频域周期卷积定理 3.2.1 Fourier变换的几种可能形式 3.2.3 DFT与Z变换以及DTFT之间的关系 3. 反转性质 4. 序列的累加 5. 序列的初始值 6. 共轭对称性质 （2）有限长序列的周期共轭对称分量与周期共轭反对称分量 DFT的一些对称性质 对称性质3 对称性质4 对称性质5 对称性质7 对称性质8 虚、实序列的对称特性 7．循环卷积定理 （1）时域卷积定理 （2）频域卷积定理 8．循环相关（圆周相关）定理 9．帕塞瓦尔（Parseval）定理 3.4 频域抽样理论 2 频域抽样不失真的条件 3.5 DFT的应用 3.5.3 与DFT应用有关的几个问题 2．频谱泄漏 若抽样信号 为无限长，为了利用DFT对其分析，必须将 截取为有限长序列，截取的结果相当于为 乘以一个窗函数。我们知道时域两函数相乘表现在频域上是其频谱的卷积。由于窗函数不可能取无限宽，即其频谱不可能为一冲激函数，二者的卷积必将使原信号的频谱发生改变。 减小泄漏方法： （1）取更长的数据，也就是使窗的宽度加宽； （2）不要使数据突然截断，即不要使用矩形窗，而是要缓慢截断，使用其他缓变的窗函数，如汉明窗、汉宁窗、三角窗等。窗函数的主瓣越窄、边瓣越小且衰减得越快，泄漏就越小。 3．栅栏效应 利用DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换时，其频谱将不再是连续函数而是基频的整数倍。就此而言，用DFT 计算频谱，就如同通过一个栅栏观看一个景像，只能在离散点的地方看到真实的景像，把这种现象称为“栅栏效应”。如果在两离散的谱线间频谱有很大变化，若不作特殊处理，则无法将其检测出来。 减小栅栏效应的方法: (1)在所取时域数据的末端补一些零值点，使一个周期内点数 增加，但是不改变原有的记录数据，而频域的抽样间隔 因 的增大而减小。即在保持原有频谱连续形式不变的情况下，使谱线更密。这样，就有可能看到原来看不到的频谱分量。 (2)使 为2的整数次幂，便于傅里叶快速算法（FFT）的计算。 循环卷积的计算过程与周期卷积类似，即 反转→循环→移位→乘积→累加 设 和 均为长度为 的有限长序列，且 ， 若 则 该定理表明，两个等长序列循环卷积的离散傅里叶变换等于这两个序列的离散傅里叶变换的乘积。与线性卷积类似，时域中的圆周卷积运算等效于频域中的乘积运算。 设 和 均为长度为 的有限长序列，且 ， 若 则 该定理表明，两个等长序列乘积的离散傅里叶变换等于这两个序列的离散傅里叶变换的循环卷积。两个序列相乘也可理解为用一个序列去调制另一序列的幅度，因此两个序列相乘也称为幅度调制，所以频域卷积定理也称为调制定理。 对于两个长度均为 （若两序列长度不同，可将较短序列补零）的有限长序列 、 ，我们定义 和 的循环互相关为 循环相关定理若 则 设 、 均为 点有限长序列，若 则 令 信号在时域中的能量与在频域中的能量是守恒的。 3.4.1由 不失真地恢复 的条件 1 由频域抽样恢复序列 对任何一个绝对可和的非周期序列 的 变换在单位圆上以 等间隔抽样即得DFT，即 设由频域抽样后所得的 恢复出的有限长序列为 ，即 以 为周期延拓得到的周期序列 。由DFT与DFS的关系可知， 是 的傅里叶级数 的主值区间，即 则 是原 以 为周期的周期延拓序列，如图所示。 时域恢复 0 0 是 的主值序列，即 当频域的抽样点数 大于等于原序列 的长度 时，周期序列 才不会产生时域混叠，也即才能由频域抽样 不失真地恢复出原序列 ，此时有 这就是频域抽样定理。 3.4.2 由 表