求数列通项的常见类型和方法.docVIP

 PAGE \* MERGEFORMAT 40 求数列通项的常见类型和方法 一、公式法： (1)等差等比数列直接使用通项公式. 2已知Sn=fn求an.用公式：an=S1n=1Sn-Sn-1n≥2 3已知Tn=a1a2…an=fn.用公式：an=T1n=1TnTn-1n≥2 4已知Fan,Sn=0求an.有以下两种常见途径： 途径一：Fan,Sn=0?Sn=fanSn-1=fan-1?an=fan-fan-1?an(n≥2) 途径二：Fan,Sn=0?an=fSn?Sn-Sn-1=fSn?Sn?an(n≥2) 例1.已知：Sn=3n2-2n+1，求an.答：an=2n=16n-5n≥2 例2.1已知：Sn=3+2an,求an.答：an=-3?2n-1. 2已知：a1=1,an=2Sn22Sn-1n≥2,求an.答：an=1,n=1-24n2-8n+3,(n≥2) 练：已知：a1=3,2an+1=Sn?Sn+1,求an.答：an= 3 ,(n=1)183n-83n-5,(n≥2) 二、作差作商法： 1已知k1a1+k2a2+…+knan=fn = 1 \* GB3 ①fn可以换成an+1或Sn+1等, 其中kn为一已知数列,求an. 由 = 1 \* GB3 ①得:k1a1+k2a2+…+kn-1an-1=fn-1 = 2 \* GB3 ②, = 1 \* GB3 ①- = 2 \* GB3 ②:knan=fn-fn-1 ?an=f1k1,(n=1)fn-fn-1kn,(n≥2) (2)已知k1a1+k2a2+…+knan=fn = 1 \* GB3 ①fn可以换成an+1或Sn+1等,kn为一已知数列,求an. 由 = 1 \* GB3 ①得:k1a1+k2a2+…+kn-1an-1=fn-1 = 2 \* GB3 ②, = 1 \* GB3 ①- = 2 \* GB3 ②:knan=fn-fn-1 ?an=k1f1,(n=1)knfn-fn-1,(n≥2) (3)已知(k1+a1)(k2+a2)…(kn+an)=fn = 1 \* GB3 ①fn可以换成an+1等, 其中kn为一已知数列,求an. 由 = 1 \* GB3 ①得:(k1+a1)(k2+a2)…kn-1+an-1=fn-1 = 2 \* GB3 ②, = 1 \* GB3 ①÷ = 2 \* GB3 ②:an=f1-k1,(n=1)fnfn-1-kn,(n≥2) 例3.04全国 = 1 \* ROMAN I理15已知：a1=1,a1+2a2+3a3+…+n-1an-1=ann≥2,求an. 答:an=1,(n=1)n!2,(n≥2) 练:07山东理17已知:a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3n∈N+,求an.答:an=13n. 注：此类的特征为条件是关于an的“和的结构”或“积的结构”. 若是“和的结构”则作差，若是“积的结构”则作商. 三、累加累乘法： 1已知an-an-1=fn,求an.用累加法得：an=a1+f2+f3…+fn,(n≥2) 2已知anan-1=fn,求an.用累乘法得：an=a1?f2?f3…fn,(n≥2) 3已知an+an-1=fn,求an.由an+an-1=fn = 1 \* GB3 ①?an+1+an=fn+1 = 2 \* GB3 ②, = 2 \* GB3 ②- = 1 \* GB3 ①得： an+1-an-1=fn+1-fn.从而a2n-1和a2n分别可用累加法求其通项. 4已知an?an-1=fn,求an.由an?an-1=fn = 1 \* GB3 ①?an+1?an=fn+1 = 2 \* GB3 ②, = 2 \* GB3 ②÷ = 1 \* GB3 ①得： an+1an-1=fn+1fn.从而a2n-1和a2n分别可用累乘法求其通项. 例4.1已知：a1=12,an+1=an+12n,求an.答：an=32-12n-1. 2已知：a1=1,Sn=(n+1)an2,求an.答：an=n. 四、分段类： 已知：a1和an=fan-1,n为奇数gan-1,n为偶数,求an. 由题有:a2n+1=ga2n=gfa2n-1a2n+2=fa2n+1=fga2n,从而数列 a2n-1和a2n分别转化为一阶递推数列,再考虑用累加乘法、转化法、数归法等方法求解. 推广1：推广到分三段的情形： 已知：a1和an=fan-1,n=3kgan-1,n=3k+1han-1,n=3k+2,求an. 由题有:a3n+3=fa