常微分方程8.docVIP

常微分方程试题8 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1．一阶微分方程的通解的图像是　　 　　维空间上的一族曲线． 2．二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件是 ． 3．方程的基本解组是 ． 4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间． 5．方程的常数解是 ． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）． （A）上半平面 （B）xoy平面 （C）下半平面 （D）除y轴外的全平面 7. 方程（ ）奇解． （A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个 8．连续可微是保证方程解存在且唯一的（ ）条件． （A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）． （A）构成一个2维线性空间 （B）构成一个3维线性空间 （C）不能构成一个线性空间 （D）构成一个无限维线性空间 10．方程过点(0, 0)有（ B　）． (A) 无数个解　　　　(B) 只有一个解 　(C) 只有两个解　　　(D) 只有三个解 三、计算题（每小题６分，本题共30分） 求下列方程的通解或通积分： 11. 12. 13. 14． 15． 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16．求方程的通解． 17．求下列方程组的通解． 五、证明题（每小题10分，本题共20分） 18．给定方程其中f(t)在t+上连续，证明极限存在 19．,证明其解的存在唯一性 常微分方程模拟试题参考答案 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1．2 2．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 3． 4．开 5． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．D 7．C 8．B 9．C 10．A 三、计算题（每小题６分，本题共30分） 11．解： 为常数解（1分），当，时，分离变量取不定积分，得 （3分），通积分为（6分） 注：包含在常数解中，当时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。 13．解：方程两端同乘以，得（1分），令 ，则，代入上式，得（3分），这是一阶线形微分方程，对应一阶线形齐次方程的通解为（4分），利用常数变易法可得到一阶线形微分方程的通解为（5分），因此原方程通解为（6分） 14．解：因为，所以原方程是全微分方程．（2分） 取，原方程的通积分为（4分），计算得 （6分） 15．解：原方程是克莱洛方程，通解为 （6分） 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16．解： 对应齐次方程的特征方程为，（1分）特征根为，，（2分），齐次方程的通解为（4分），因为是特征根。所以，设非齐次方程的特解为（6分），代入原方程，比较系数确定出，，（9分），原方程的通解为 （10分） 17．解： 齐次方程的特征方程为（1分），特征根为（2分）， 求得特征向量为（3分），因此齐次方程的通解为（4分）， 令非齐次方程特解为（5分），满足 （6分），解得 （8分），积分，得，（9分）通解为 （10分） 五、证明题（每小题10分，本题共20分） 18．证明： 其次方程的特征方程为，即得到特征根.所以其次方程的通解为X=+因为是非其次方程的两个解，得知是其次方程的解，也就是说存在适当的常数，，使得+，从而+ 显然右端的极限存在且为 19 证明： y(x)=y(0)+ 开始进行迭代： =y(0)=0; =; = ….. dx=+…+=-1; ① 所以：收敛 所以y=是方程的解 接下来证明唯一性： 设y= f(x),y=h(x)是方程的两个解，f(x),f(0)=g(0); 设G(x)=f(x)-h(x) =2xG(x) =0; X=0时，G（0）=0, 与)矛盾 所以存在唯一解 1 1