第2题拍照取景在公路l的一侧从A至B有一排楼房—1想在公路.DOCVIP

第2题 拍照取景 在公路l的一侧从A至B有一排楼房(图2—1)。想在公路上的任何一处拍一张正面快照，如何选择公路上的点，使拍摄的一排楼房的取景角最大。所谓取景角即为∠ACB。 用数学的语言来说就是已知同一平面上两点及一直线，(两点代表一排楼房的两端，一直线代表公路)，两点在直线的同侧，在已知直线上求一点C，使AC与BC的夹角∠ACB最大。 分析：两点在l的同侧，但其位置可能出现三种情形 (1)两点的连线与l平行。(见图2—1) A、B表示一排楼房的两个端点，直线l表示公路，你很自然地会想到，作线段AB的垂直平分线交l于C点，连接AC和BC，则夹角∠ACB最大。点C由此而得到。 (2)两点的连线与l垂直。(见图2—2) 若还是采用上述方法，由于AB的垂直平分线与l 是互相平行的，它们的交点并不存在，所以原有的方法不能采用，下面再看第3种情形。 (3)两点的连线与l斜交。(见图2—3) 由图2—3可以看到，虽然线段AB的垂直平分线与l的交点C是存在的，但是∠ACB＜∠AC1 B，不是最大的夹角。在上述两种情形中可以看到，利用线段AB的垂直平分线与l的交点C，找最大夹角的方法并不一定是正确的方法，它不适合情形(2)和(3)。那么是否在直线l上一定存在一点X，连接AX，BX，使在这点处有∠AXB最大？ 让我们设想一边沿着直线l走，一边看着线段AB，从直线l与A、B连线的交点出发往右行走(如图2—4) 在起点，面对AB的角度为0°，即X从起始位置开始向右缓缓移动，X在起始时的∠AXB= 0°，而后，角度逐渐增大：到了一定的点后，往后的趋势是当X离起始位置越来越远时，角度再次减少，在无穷远处，∠AXB= 0°。在角度为0°的两种极端情形之间。由这样的变化趋势可知，必定在这两者之间取得到最大值。因此一定存在点X，使得∠AXB的值最大。 由于直线是向两方无限沿伸，但到底在哪一点可以达到最大值？不妨在直线l上任选一点X，该点是我们随意取的这一点，不一定在我们所要求的最大值的位置上。 如果这一点是最大值的位置，显然已经求得。 如果这一点不在最大值的位置上，那么必有另一点，在最大值位置的另一侧，在该点所讨论的角度有相同的值，即是否在直线l上有另外一点X′，使∠AX′B=∠AXB？ 在情形(3)中根据圆的有关圆周角的一个熟知的性质，X与X′(如果X′存在的话)。两点必在通过A、 B两点的同一圆周上。于是让我们通过已知点A、B画若干个圆。(如图2—5)。 如果这样一个圆与直线l 交于两点X与X′，那么同弦所对的圆周角相等，即∠AXB=∠AX′B。这个圆中弦XX′上的任意点Y一定有∠AYB＞∠AXB(同弦所对的圆内角大于圆周角)。于是∠AXB不是最大的角。只有与直线l相切圆的切点M，才能使观察AB的角度达到最大。(即图2—5中的∠AMB)。 解：(如图2—6所示) 设经过A、M、B三点的圆的圆心为O，半径为R；经过A．X′、X、B的圆的圆心为O′，半径为R′。则O与O′必在AB的垂直平分线上。设AB的中点为C。 因为∠AMB、∠AXB是圆周角，而∠AOB，∠AO′B是圆心角， 在 Rt△ACO和 Rt△ACO′中 由于R＜R′ 由此可得∠AMB＞∠AXB 这是第3种情形下的解题证明过程。而对于第2种情形同样可以通过此题来证明。但也可推广到用解析几何的解题方法来加以证明。 以直线l为x 轴，A、B的连线为y轴建立直角坐标系(如图2—7)所示。 设A点到x 轴的距离(即为到直线l的距离)为a、B点到x轴的距离为b，X即为l上的任一点，∠AXB即为所求的最大的角。 设∠AXO=α，∠BXO=β，则∠AXB=β-α，OX= x 注：我们知道在地图上或地形图上的一条等高线是连接图上所表示地面海拔高度相同的点而成的一条曲线。如果你想象海平面升高100米，那么漫入海湾的一条新海岸线将随这个新海平面的上升而出现，这条新的海岸线就是高度为100米的等高线。绘图者仅需画几条相等间隔的等高线，例如100米， 200米， 300米，……；可以认为，在每一高度上都有一条等高线。这样，利用等高线就可以知道地图上每一点的海拔高度。 类比方法：类比是比较某种类型的相似性，可以说它是一种更确定的和更概念性的相似。问题中的圆弧相当于“等高线”。除此之外，在足球场上，足球运动员带球射门(如图2—8所示)把门框的两边可以看作是两端点A、B，运动员带球前进所站的位置即为所求的点C，使得∠ACB这个射角尽可能大。当然在比赛中运动员不可能去具体地计算这个角度的大小，只不过是相类似的问题而已。 练习2 1．两人坐在长方形桌旁，并且两人相继轮流往桌上平放一枚同样大小的硬币，条件是硬币一定要平放在桌面上，不能使后放的硬币压在先前的硬币上。这样继续下去，最后桌面上只剩下一个位置时，谁