第099期学生答题状况与解答及评析.DOCVIP

臺北市立建國高級中學第期通訊解題詳解 已知自然數n除以35、55、77之餘數分別是a、b、a+2b，，求a、b之值。 【簡答】a 19，b14 或 a 1，b21 【詳解】由n除以35餘數a，知n–a是5與7之公倍數n除以55的餘數為b，知n–b是5與11的公倍數，0＜b＜55；由n除以77的餘數為a+2b，知n–(a+2b)是7與11的公倍數， 0＜a+2b＜77， 可得 5 | n–a且5 | n–b；7 | n–a且7 | n–(a+2b)； 11 | n–b且11 | n–(a+2b)，因此，5 | (a–b)；7 | 2b7 | b；11 | (a+b)。 令a+b＝11x，a–b＝5y，x, y都是整數，則11x + 5y＝2a，11x–5y＝2b，若為不定方程式11x–5y＝2b的一組整數解，則 x＝+ 5t，y =+ 11t a＝，t是整數，因為7 | b，又0＜a＜35、0＜b＜55、0＜a+2b＜77，討論如下： (1) b＝7時，0＜a＜35，取＝(4, 6) a＝37+55t，没有適合解；(2) b＝14時，0＜a＜35，取＝(8, 12)a＝74+55t a＝19；(3) b＝21時，0＜a＜35，取＝(12, 18)a＝111+55t a＝1；(4) b＝28時，0＜a＜21，取＝(16, 24)a＝148+55t，没有適合解；(5) b＝35時，0＜a＜7，，取＝(20, 30)a＝185+55t，没有適合解。 所以a = 19，b＝14 或 a = 1，b＝21。 【評析】 –b是5的倍數、a+b是11的倍數。掌握住這些資料之後，只要找到適當的切入點，從而思考開始一些推演與討論，即可尋得a、b之值。 以上詳解只是一種較為系統化的討論示例，提供同學參考。 本題共有10位同學應徵答題北市國中中市國中滿分7分北市國中中市國中中 若均為正實數，已知且，求之值。 【簡答】【詳解】 代入 。 【評析】本題利用變數變換，將四個變數統一成為單一變數，再進行適當的代數運算即可。徵答人數共14人： 滿分7分： 新北市文山國中黃 毅、新北市永和國中王子杰、 新北市蘆洲國中謝耀慶、新北市康橋實驗中學蔡皓文、 臺北市立中正國中王元益、臺北市師大附中高中部蔡孟修、 臺北市立天母國中葉沛鎧、臺北市立天母國中余竑勳、 師大附中國中部徐嘉宏、師大附生國中部鍾尚軒、 桃園市桃園國小李承翰、桃園市立新與國際中小國中部游垚騰、 新竹市實驗國中張晏祥 得分2分： 基隆市銘傳國中柯岱佑 用一平面截一個正立方體所成之截面可能是幾邊形？請舉例。 【簡答】 3邊形、4邊形、5邊形、6邊形 【詳解】3邊形 4邊形 5邊形 6邊形 【】6邊形6邊形【】7分。 如圖，由編號1~9號的九個邊長為1的小正方形(單位正方形)所構成的邊長為3的大正方形， 每一個單位正方形方格都要塗成全黑或全白，若此單位正方形所成之方格中沒有一個單位正方形所成方格為全黑，試問符合此條件的塗法數有幾種？ 【簡答】417 【詳解】令「至少有一個黑色正方形」的塗法數； 「左上角編號為的黑色正方形」的事件，； 「左上角編號為的黑色正方形」的塗法數，， ， 所求。 【】又稱容斥原理 某次數學考試共有15題，下表是做對題的人數統計表，如果其中做對4題以上(含4題)的學生每人平均做對6題，做對10題以下(含10題)的學生每人平均做對4題，則這個表統計了多少人？ n 0 1 2 3 … 12 13 14 15 做對n題人數 7 8 10 21 … 15 6 3 1 【簡答】 【詳解】令做對題的人數分別為 由表可易知， 另依題意且 則且 相減可得(令)  代入已知 ，故當時，總數有最小值200。 而下表為一種總數 200且符合各條件的可能 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 人數 7 8 10 36 93 0 0 0 0 0 0 15 6 3 1 【】 9901 3901 38011 9902 3901 38011 9903 3901 38011 9904 3901 38011 9905 3901 38011