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4.2黄金分割导学案 宝鸡市列电中学 八年级组 学习目标：理解黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点. 学习重点：找一条线段的黄金分割点. 学习难点: 找黄金分割点和画黄金矩形. 一、学前准备【温故·知新】 1．已知线段a=2，b=6，c=3，线段b是a和c的比例中项吗？为什么？ 2．数12与3的比例中项是 . 二、探究活动【合作·沟通】 1、自主探究·解决问题 生活中我们见到过许许多多的图形，形态各异，美观大方.上图是一个五角星图案，在五角星图案中，用刻度尺分别度量线段AC、BC的长度，然后计算与,它们的值相等吗？ 归纳:在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果,那么称线段AB被点C黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 其中=≈0.618. 线段的黄金分割点做法 ：已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 2、师生探究·合作交流 探究一：C点是线段AB 的黄金分割点吗？（引导学生探究） 证明：设AB =1 那么 BD =1/2 AC= BC= 通过计算可以得到： AC:AB = BC :AC 探究二：一条线段有几个黄金分割点？ 古希腊时期的巴台农神庙,把它的正面放在一个矩形ABCD中，以矩形ABCD的宽AD为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，,点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？ 证明：因为四边形AEFD是正方形，所以AD=BC=AE,又因为,所以,即,因此点E是AB的黄金分割点， 归纳:矩形ABCD宽与长的比是黄金比.这个矩形叫做黄金矩形. 3、学以致用【应用·巩固】 1.已知C是线段AB的黄金分割点.如果AC：AB≈0.618,那么BC：AC≈ , BC:AB≈ .（结果保留3个有效数字） 2.若M、N是线段AB上的两个黄金分割点,且AB=1㎝,则MN≈ ㎝. （精确到0.001） 三、当堂自我测验 【测试·反馈】 1．如下图，若点P是AB的黄金分割点，则线段AP、PB、AB满足关系式 ，即AP是________与________的比例中项. 2．黄金矩形的宽与长的比大约为 （精确到0.001） 3、如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果, 那么下列说法错误的是( )。 A、线段AB被点C黄金分割 B、点C叫做线段AB的黄金分割点 C、AB与AC的比叫做黄金比 D、AC与AB的比叫做黄金比 4、如图,点C是AB的黄金分割点,AB=4,则AC2=________. （结果保留根号） 5、如图的五角星中,与的关系是( ) A、相等B、 C、 D、不能确定 6、一条线段的黄金分割点有 个。 四、学习收获 1、预习中遇到了哪些困惑？ 2、通过今天的学习，你有何收获？你还有哪些疑惑？ 五、应用与拓展提高 如图1， C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线． （1）猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？ （2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？ （3）研究小组进一步发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF//CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由． （4）如图4，点E是□ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF//AD，交DC于点F，显然直线EF是□ABCD的黄金分割线．请你画一条ABCD的黄金分割线，使它不经过□ABCD各边黄金分割点． 分析：本题是类比探究题，首先要理解“黄金分割线”的定义：（1）要判断CD是否是△ABC的黄金分割线，需判断CD将△ABC分割成的两个三角形的面积是否满足“黄金分割线”定义；（2）要判断三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线，需要验证中线分成的两个三角形是否满足“黄金分割线”的定义。 解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下： 设△ABC的边AB上的高为h． 因为S△ADC=