定积分应用2012.4.17.docVIP

定积分的应用——定积分在几何上的应用 1、平面图形的面积 ●设在上连续，则由曲线及直线 所围成的平面图形的面积。 ●设在上连续，则由曲线及直线 所围成的平面图形的面积。 2、旋转体的体积 ● 设在上连续，且，由曲线及直线 及x轴围成的平面图形，则此平面图形绕轴旋转一周产生一个旋转体，此旋转体的体积 为； ●设在上连续，且，由曲线及直线 围成的平面图形，则此平面图形绕轴旋转一周产生一个旋转体，此旋转体的体积为； 【利用定积分求几何图形的面积和体积】 1.2001（9分）在第一象限内，求曲线上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的图形面积最小，并求此最小面积。 解：设所求之点为 (x1，y1) ，于是，过 (x1，y1) 的切线方程为 y － y1 = －2x1 (x － x1) 。 命 x = 0 得切线在y轴上的截矩 ； 命 y = 0 得切线在x轴上的截矩 。 于是所求之面积为： 令， 得到：。（唯一驻点） 又 ， 即知点为所求，此时 。 2.2002（7分）在曲线y = x2（x ≥ 0）上某点A作一切线，使之与曲线及x轴所围图形的面积为，试求： ⑴ A点的坐标；⑵ 过切点A的切线方程。（3）该图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积。 解：⑴设A (x0，y0)，则y0 = x02，于是切线方程：y ― x02 = 2x0（x ― x0） 则切线与x轴交点为 故有。 ⑵ 切线方程为。（3） 3.2004（8分）设有曲线，过原点作其切线，求由此曲线、切线及x轴所围成平面图形的面积，以及该图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的体积。 解：设切点为，则写率为： 。 由上式解得，故切线方程为。 平面图形的面积为： 。 旋转体的体积为 4.2005（8分）设曲线与交于点A，过坐标原点 O和点A的直线与曲线围成一平面图形，试问： ⑴ 当a为何值时，该图形绕x轴一周所得的旋转体体积最大？ ⑵ 最大体积为多少？ 解：当x≥0时，由，解得，A点的坐标为，故直线OA的方程为。于是，平面图形绕x轴一周所得的旋转体体积为： 。 上式两边对a求导：。 命：，得到a=4。由于a=4是当时的唯一驻点，且由问题的实际意义可知存在最大体积，故在a=4时取最大值。其最大体积为： 。 5.2006(3分)曲线与x轴所围成的平面图形的面积为（ D ） （A）； （B）； （C）； （D）。 6.2007（8分）求抛物线弧段上一点，使此点的切线与抛物线及两坐标轴所围成图形面积最小，并求此最小面积值。 解：过抛物线上的点的切线方程为： 。 当x = 0时，切线在y轴上的截距为：； 当y = 0时，切线在x轴上的截距为：。 为求题目所述面积最小，只需求上述切线与二坐标轴所围直角三角形面积最大，而此三角形面积：， 故设， 命：，得，即，是的唯一驻点，从而也是唯一最大值点，即过点的切线与抛物线及二坐标轴所围图形面积最小，其最小面积为：。 7.2008（8分）过曲线上点A作切线，使该切线与曲线及x轴所围平面图形D的面积。 ⑴ 求点A的坐标； ⑵ 求平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。 解：⑴ 设A点坐标为，则切线方程为：，即。 命：y = 0，得此切线与x轴的交点横坐标为，从而图形D的面积为 即A点的坐标为(1,1)。 ⑵ 平面图形D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为： 8.2009（8分）在由椭圆绕其长轴旋转一周而成的椭球体上，沿长轴方向打一穿过中心的圆孔，并使剩下部分的体积恰好等于椭球体体积的一半，求该圆孔的直径。 解：设圆孔直径d = 2r，则点A的坐标，于是椭球体上去掉部分的体积 而椭球体的体积：。 由题意知，即 ，解得 ， ，所以，该圆孔的直径为。 9.2010（8分）求由曲线和以及x轴所围图形D的面积与该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。 解：二曲线的交点坐标为。 D的面积 。 旋转体体积 。 【补充练习】 1 .由曲线与x轴所围成的图形的面积A = 。 2.设函数f，g在区间[a，b]上连续，且（m为常数），则曲线 和x = b所围平面图形绕直线y = m旋转而成的旋转体体积为（ 答案： ） 3、求曲线的一条切线，使该曲线与切线及直线所围成的平面图形的面积最小。（答案：） 4、函数在上连续且单调增加，证明在内存在点，使曲线与 两直线所围平面图形面积是曲线与两直线 所围图形面积的三倍。 5、设曲线与交于点，过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面图形，问为何值时，该图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积最大？最大体积是多少？（答案：时） 6、设抛物线在第一象限内与直线相切，且抛物线与轴所围成的平面图形的面积为。（1）问和为何值时，达到最大；（答案：）（2）求出的最大值。（） 7、设是由抛物线和直线及围成的