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可靠性数学理论 百科名片运用概率统计和运筹学的理论和方法对产品（单元或系统）的可靠性作定量研究。它是可靠性理论的基础之一。可靠性是指产品在一定条件下完成其预定功能的能力，丧失功能称为失效。可靠性理论是以产品的寿命特征为研究对象的。 目录 简介 可靠性的数量指标 寿命数据统计分析 寿命分布及分布类 结构函数 编辑本段简介 　　运用概率统计和运筹学的理论和方法，对单元或系统的可靠性作定量研究。它是可靠性理论的基础之一。所谓可靠性，是指单元或由单元组成的系统在一定条件下完成其预定功能的能力。单元是元件、器件、部件、设备等的泛称。单元或系统的功能丧失，无论其能否修复，都称之为失效。可靠性理论即以失效现象为其研究对象，因而涉及工程设计、失效机理的物理和化学分析、失效数据的收集和处理、可靠性的定量评定以及使用、维修和管理等范围。 　　可靠性问题的提出，是由于大工业生产及第二次世界大战中研制和使用复杂的军事装备的需要。虽然单元的可靠性不断有很大的提高，但是由于大型系统的结构越来越复杂，要求其完成的功能也越来越广泛，因此定量评定和改善系统可靠性已成为一个重要课题。 　　通过数学模型定量研究系统的可靠性，并探讨它与系统性能、经济效益之间的关系，是可靠性数学理论的主要方法之一。 编辑本段可靠性的数量指标 　　假定系统只有正常和失效两种状态。系统在失效前的一段正常工作时间称为寿命。由于失效是随机现象，因此，寿命可用非负随机变量X 及其分布函数F(t)=P{X ≤t}（见概率分布）来描述。 　　对失效后不加修复的单元，其可靠性用可靠度来刻画。单元在时刻t的可靠度R(t)定义为:在一定的工作条件下在规定的时间【0，t】中完成其预定功能的概率。因此,若单元的寿命为X，相应的寿命（或失效）分布函数为F(t)，则R(t)=P{xt}=1-F(t),其中t≥0。根据上式的概率含义，可靠度R(t)又称为生存函数。 　　一个生存到时刻t的单元，称之为有年龄t。在其后长度为x的区间中失效的条件概率为 ?? 1 若 ?? 2 存在,则r(t)称为时刻t的(条件)失效率。当Δt很小时,r(t)Δt可解释为单元生存到t时刻的条件下,在(t,t+Δt】中失效的概率。当X是连续型随机变量，即F′(t)=?(t)存在时,则有r(t)=?(t)/R(t)，R(t)0,此时r(t)与R(t)之间有如下的基本关系R(t)＝ ?? 3 因此，F(t)、R(t)或r(t中任意一个都可用来描述不可修复单元的寿命特征。 　　对失效后可修复的系统，其状态随时间的进程是正常与失效相交替的一个随机过程。它的可靠性由不同的指标来描述:系统首次失效前的时间T的概率分布及均值；任一时刻t系统正常的概率，即可用度；(0,t】中系统失效次数的分布和均值等。 　　寿命数据统计分析、寿命分布及分布类、结构函数、网络可靠性、故障树分析、复杂系统可靠性分析以及可靠性中的最优化等，是可靠性数学理论的主要研究内容。 编辑本段寿命数据统计分析 　　寿命数据的收集和分析是可靠性定量评定的基础。主要讨论寿命分布类型的确定及其参数估计。由于寿命试验费钱、费时，试验常常不能等到所有受试样本都失效时才结束，此外，现场数据中可能有中途失去观察的情形，因此获得的寿命数据往往是不完全的样本。对于这类不完全样本的参数估计和分布类型检验，在数理统计中有专门的方法来处理，其中以寿命分布是指数时，结果最简单(见寿命数据统计分析)。 编辑本段寿命分布及分布类 　　在实际中以下的寿命分布最常使用： 　　① 指数分布 ?? 4 式中t≥0，而λ0为参数。指数分布的失效率是常数λ,适用于描述某些电子元器件使用期的寿命。 　　② 韦布尔分布 ?? 5 ?? 6 当 λ1时，r(t)是单调递减的；当λ1时，r(t)是单调递增的；当λ＝1时，r(t)＝λ。由于韦布尔分布的参数适应范围大，已广泛用于描述金属疲劳、真空管、轴承等的寿命。 　　研究寿命分布的共同性质，需要引入寿命分布类的概念。若对任意固定的x≥0,F(x|t)是t≥0的递增函数，即在同样长的时间间隔x中，单元失效的概率随年龄t增加，则F称为属于失效率递增类,记为F∈IFR。当r(t)存在时，F∈IFR等价于r(t)递增。相仿地，可定义失效率递减类，以及失效率平均递增或递减的类等。 　　寿命分布类研究中的典型问题有：由属于同一分布类的单元所组成的系统，其寿命是否属于相同的类，以及考察其可靠度界等。 编辑本段结构函数 　　反映单元的状态及由这些单元组成的系统的状态之间的关系。假定系统由n个单元组成,单元与系统都只有两个状态:正常和失效,分别用1和0表示。用变量xi(取值0或1)表示单元i的状态,尣=(x1,x2,…,xn)是单元的状态向量，用函