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* §3 数列极限存在的条件 一 数列收敛的一个充分条件 —— 单调有界原理 二 数列收敛的充要条件 —— Cauchy收敛准则 三 关于极限 四 数列 单调有界证法欣赏 一 单调有界原理 定义 称为单调上升的，若 称为单调下降的，若 单调增加和单调减少数列统称为单调数列? 提问: 收敛的数列是否一定有界？ 有界的数列是否一定收敛？ M 定理1(单调有界定理) 单调有界数列必有极限? 定理1的几何解释 x1 x5 x4 x3 x2 xn A 以单调增加数列为例? 数列的点只可能向右一个方向移动? 或者无限向右移动? 或者无限趋近于某一定点A? 而对有界数列只可能后者情况发生? 数列极限存在的条件 数列极限存在的条件 定理1(单调有界定理) 单调有界数列必有极限? 证明 例1 设 证明数列{ }收敛. 例2 例3 (n重根号),· · · 证明数列 单调有界, 并求极限. 求 ( 计算 的逐次逼近法, 亦即迭代法 ). 解 由均值不等式, 有 有下界; 解 1） 因 时有 所以 即有 这表明序列 有下界。又 故序列 下降。因此序列极限存在，记极限 值为c。于是 或 2） 因 所以 又 即得 例2 证 (舍去) 二 数列收敛的充要条件 —— Cauchy收敛准则 1 Cauchy列： 如果数列 具有以下特性： 则称数列 是一个基本数列.（ Cauchy列） 2 Cauchy收敛准则： 定理 数列 收敛的充要条件是： 是一个基本数列. 数列 收敛 或 数列极限存在的条件 定理的几何解释 柯西准则说明收敛数列各项的值越到后边,彼此越是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.或形象地说,收敛数列的各项越到后面越是挤在一起. x1 x2 x3 x4 x5 例5 证明: 任一无限十进小数 的不足近似值所组成的数列 收敛. 其中 是 中的数. 证 令 有 …… 三. 关于极限 （证明留在下段进行.） 例8 例9 例10 四 数列 证法一 单调有界证法欣赏: Cauchy (1789—1857 ) 最先给出这一极限， Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一. 设 用二项式展开，得 注意到 且 比 多一项 即 ↗. *