解析几何与导数题汇编.docVIP

21．（本小题满分12分） 已知函数 （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）求证： 20．（本小题满分12分） 已知椭圆E的方程为，其左焦点为F，点M（-3，0），过点F的直线（不垂直于坐标轴）与E交于A，B两点。 （I）证明： （II）求面积S的最大值。 21．（本小题满分12分） 已知函数是它的一个极值点。 （I）求函数的单调区间； （II）当时，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围。 20．解：（1）直线与椭圆的 两个交点的坐标为（c ,）,(c , -) （1分） , e= （4分） (2) 由已知得 2a= 代入椭圆C的方程得： 解得 ∴所求椭圆的方程为 （5分） 由题意知的斜率存在且不为零， 设方程为 ①，将①代入，整理得 ，由得 （7分） 设，，则 ② （8分） 由已知， ， 则 由此可知，，即 （9分） 代入②得，，消去得 解得，，满足 即 （11分） 所以，所求直线的方程为. （12分） 21, 解：（1）f(x)=(2x+a)e－(x+ax+a)e=－e [x+(a－2)x] （2分） 令f(x)=0 解得x=0或x=2－a ①当a=2时，f(x)≤ 0,此时无极值 ②当0＜2－a，即a＜2时f(x)和f(x)的变化如图表： x (－0) 0 (0,2－a) 2－a (2－a,+) f(x) － 0 + 0 － f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 此时应有f(0)=0,所以a=0＜2; ③当0＞2－a,即a＞2时, f(x)和f(x)的变化如图表2 x (－2－a) 2－a (2－a,0) 0 (0,+) f(x) － 0 + 0 － f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 此时应有f(2-a)=0,即[(2-a)+a(2-a)+a]e=0,而e≠0,所以必有(2-a)+a(2-a)+a=0,a=4＞2,综上所述,当a=0或a=4时, f(x)的极小值为0. (6分) (2)∵f(x)=(x+ax+a)e, f(x)= －e [x+(a－2)x], ∴方程f(x)+ f(x)=2xe+x可以化为ae=x进而化为xe=a. 构造函数(x)=xe (x≠0),求导可得(x)=e (x-2)x.由(x) ＞0得x＜0或x＞2;由(x) ＜0得0＜x＜2,从而(x)在区间(－0)和(2, +)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减,当x=2时,函数(x)取得极小值,并且结合函数图像可知:当∣x∣无限趋近于0时, (x) ＞0并且取值无限增大,其图像向上无限接近y轴,(此时y轴是渐近线);当x＜0并且无限减小时, (x) ＞0并且取值无限减小,其图像在x轴上方并向左无限接近x轴,但永远也达不到x轴(此时x轴是渐近线);当x＞2并无限增大时, (x) ＞0并且取值也无限增大,其图像在第一象限内向右上方延伸(如图所示), 因此当a≤0时,原方程无实数根;当0＜a＜时,原方程只有一个实数根;当a=时,原方程有两个不等的实数根;当a＞时原方程有三个不等的实数根. (12分) 20．（12分） 解：（1）由 得，得定点F（1,0） 设椭圆C的标准方程为： 则有 椭圆的标准方程为： （5分） （2）设过F的直线方程为： 设 联立 则有 （8分） 所以直线的斜率取值范围是 （12分） 21．（12分） 解：（1） 当时 所求切线方程为： (4分) （2）为偶函数 要使，，只需，即可 (6分) ∵ 令则 当时， ∴在上是增函数 ∴当时 (8分) ①当时 在上，是增函数 ∴ ∴时，在上恒成立 (10分) ②当时， ， 当时，，是减函数， ∴时，不符合条件 综上：当时，任取，恒成立