累加法通项放缩的方向和放缩的程度.docVIP

菁优网 已知数列{an}中，a1=1，且an=an﹣1+2n?3n﹣2（n≥2，n∈N?）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn= （n∈N?），数列{bn}的前n项和为Sn，试比较S2与n的大小； （3）令cn= （n∈N*），数列{}的前n项和为Tn．求证：对任意n∈N*，都有 Tn＜2． 考点： 数列与不等式的综合；数列递推式；用数学归纳法证明不等式．1699669 专题： 综合题；转化思想． 分析： 第1问对条件式子两边同除以n，然后要用累加法可求出，从而可求出an． 第2问有两种方法：方法1先对n=1，2，3时对进行比较，从而猜想出一个结论，然后对这个结论用数学归纳法进行证明； 方法2把的差构造，然后利用f（n+1）﹣f（n）的结果正负判断出f（n）的单调性．再通过n=1，2，3时，的结果变化趋势得出最后的结论．第3问先由an写出cn，然后先对的用放缩法进行适当的放大，然后采用裂项法得出一个结果，然后再对Tn的除第一项以外的每一项按此进行放缩和裂项，运算之后很容易就看出与2的大小关系，就可以得出最后的证明结论． 解答： 解：（1）由题知，， 由累加法，当n≥2时， 代入a1=1，得n≥2时， 又a1=1，故an=n?3n﹣1（n∈N*）． （2）n∈N*时，． 方法1：当n=1时，；当n=2时，； 当n=3时，． 猜想当n≥3时，． 下面用数学归纳法证明： ①当n=3时，由上可知成立； ②假设：n=k（k≥3）时，上式成立，即． 当n=k+1时，左边=， 所以当n=k+1时成立． 由①②可知当n≥3，n∈N*时，． 综上所述：当n=1时，；当n=2时，； 当n≥3（n∈N*）时，． 方法2： 记函数 所以 则 所以f（n+1）＜f（n）． 由于，此时； ，此时； ，此时； 由于，f（n+1）＜f（n），故n≥3时，f（n）≤f（3）＜0，此时． 综上所述：当n=1，2时，；当n≥3（n∈N*）时，． （3） 当n≥2时， 所以当n≥2时，． 且故对n∈N*，Tn＜2得证． 点评： 本题第1问主要考查了用累加法求数列的通项．第2问主要考查了数学归纳证明，采用先猜想后证明的思维方式．第3问主要采用了放缩法及裂项法，难点在于放缩的把握放缩的方向和放缩的程度．总体来说第3问比较难． 菁优网 ?2010-2012 菁优网