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含导数经典习题荟萃1．（2010山东）已知函数.(Ⅰ)当时，讨论的单调性；（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.解析：(Ⅰ)，令（1）当时，，当,函数单调递减；当，函数单调递增.(2)当时，由，即，解得.当时，恒成立，此时，函数单调递减；当时，，时，函数单调递减；时，，函数单调递增；时，，函数单调递减.当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增.综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增；当时，恒成立，此时，函数在单调递减；当时，函数在单调递减，单调递增，单调递减.（Ⅱ）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，，（※）又当时，与（※）矛盾；当时，也与（※）矛盾；当时，.综上，实数的取值范围是.2.设函数，其中,是实常数，是自然对数的底数.（i）确定的值，使得极小值为；（ii）证明：当且仅当时，的极大值为；（iii）讨论关于的方程的实数根的个数.解：（i）.令当时，即时时，或；时，.时，在上单减；时，在上单增；时，在上单减；综上：在处取得极大值，在处取得极小值.当时，即时时，或；时，.时，在上单减；时，在上单增；时，在上单减；综上：在处取得极小值.综上：或.（ii）由（i）知，取得极大值的两种情况：时，不可能成立.（导数解决）时，.综上：.（iii）注：构建函数由得或；由得.从而在区间和上单调递增，在区间上单调递减.当时，函数取得极小值.并且结合图像可知：当无限趋近于时，并且取得无限增大，其图像向上无限趋近于轴，但永远也达不到轴（此时轴是渐近线）；当并无限减小时，并且取得无限减小.其图像在轴上方并无限接近轴，但永远也达不到轴（此时轴是渐近线）；当时并无限增大，并且取值也无限增大.其图像在第一象限内向右上方无限延伸（如图所示）.因此，时，原方程无实数根；时，原方程只有一个实数根；时，原方程有两个不相等的实数根；时，原方程有三个不相等的实数根. 3.已知函数。（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，，求的取值范围。解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）..当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；当-1＜＜0时，令=0，解得.则当时，＞0；时，＜0.故在单调增加，在单调减少.（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而，等价于，①令，则①等价于在（0，+∞）单调减少，即.从而故a的取值范围为（-∞，-2].