不等式课件201206.docVIP

第三章 不等式 知识要点一：不等式性质及应用 1．不等式的性质 比较两实数大小的方法——求差比较法 定理1：若，则；若，则．即。 定理2：若，且，则。 定理3：若，则。 定理3推论：若。 定理4．如果且，那么；如果且，那么。 推论1：如果且，那么。 推论2：如果， 那么 。 定理5：如果，那么 。 题型1：，，，为实数，且＞.则“＞”是“－＞－”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 显然，充分性不成立.又，若－＞－和＞都成立，则同向不等式相加得＞ 即由“－＞－”“＞” （2）,若关于x 的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则 A. B. C. D. 答案 C （3）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 答案 A 解析 因为对任意x恒成立，所以 点评：本题考查不等式的基本性质 题型：在平面直角坐标系中表示某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把直线画成实线 说明：由于直线同侧的所有点的坐标代入，得到实数符号都相同，所以只需在直线某一侧取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。特别地，当时，通常把原点作为此特殊点 2、有关概念 引例：设，式中变量满足条件，求的最大值和最小值。 在上述引例中，不等式组是一组对变量的约束条件，这组约束条件都是关于的一次不等式，所以又称为线性约束条件。是要求最大值或最小值所涉及的变量的解析式，叫目标函数。又由于是的一次解析式，所以又叫线性目标函数。 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解和分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解 题型3：已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 例3.已知求的最大值和最小值。 变式：已知实数满足则的取值范围是 。 题型4：设计线性规划，探求平面区域的面积问题 例4.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（ ） A B 4 C D2 变式 。不等式组表示的平面区域的面积为　　（　） 　　　 A、4 　B、1　 C、5 　D、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B 题型6：设计线性规划，探求平面区域的面积问题 例7、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则的最大值是 (A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95 解析：如图７，当直线通过取得最大值。因为，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时， 点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。 知识要点三：均值不等式及应用 1、均值不等式 1. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） 2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”） (3)若，则 (当且仅当时取“=”） 3.若，则 (当且仅当时取“=”）;若，则 (当且仅当时取“=”） 若，则 (当且仅当时取“=”） 4.若，则 (当且仅当时取“=”） 若，则 (当且仅当时取“=”） 5.若，则（当且仅当时取“=”） 注：（1）3. 已知x,yR,x+y=s,xy=p. 6.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”） 即: （1）和、积中的每一个数都必须是正数； （2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，； 简记为：和定积最_____，积定和最______. （3）只有等号能够成立时，才有最值。 已知都是正数，则有 (1)如果积是定值，那么当时和有最小值 ； (2)如果和是定值，那么当时积有最大值 . 题型7：基本不等式求