2011年10月全国自考《工程数学-线性代数》模拟试卷(一).docVIP

2011年10月全国自考《工程数学－线性代数》模拟试卷（一） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设是矩阵, 是矩阵，如果乘积有意义，则应是（） A.矩阵 B.矩阵 C.矩阵 D.矩阵 答案： D 2.若行列式（） A. B. C. D. 答案： B 3.设为阶方阵，那么有（） A. B. C. D. 答案： B 4.设均为维向量，则下列结论中正确的是（） A.若对任一组不全为零的数,都有， 则线性无关 B.若线性相关，则对任意一组不全为零的数，都 有 C.若，则线性相关 D.若向量组中任意两个向量都不成比例，则线 性无关 答案： A 5.设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（） A. B. C. D. 答案： B 由于，且矩阵为满秩矩阵，故线性无关. 6.设元齐次线性方程组的一个基础解系为，则下列向量组中为的基础解系的是（） A. B. C. D. 答案： C. 7.设阶方阵有一个特征值为，则必有一个特征值为（） A. B. C. D. 答案： C. 8.二次型的规范型是（） A. B. C. D. 答案： C 的矩阵，易用顺序主子式判定正定，故的规范型中的 两个系数都为1，于是只有选项C正确. 9.设为阶矩阵，且，则必有（） A. 的行列式等于 B. 的逆矩阵等于 C. 的秩等于 D. 的特征值均为 答案： C 10.已知矩阵与对角矩阵相似，则（） A. B. C. D. 答案： C 由于与对角矩阵相似，从而存在可逆阵，使， 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.若，则 . 答案： 12.若方程组有非零解，则常数 . 答案： 13.设则 . 答案： 14.已知为矩阵的2重特征值，则的另一个特征值为 . 答案： 解析： 因为 ， 故 15.齐次线性方程组的基础解系中所含向量个数为 . 答案：2 16.设矩阵但其中则矩阵的秩 . 答案：1 解析：因所以的两个列向量都是齐次线性方程组的解，而的两个列向量是线性无关的，故的基础解系中至少含2个向量，而基础解系中所含向量个数为所以即另外故 17.设2阶矩阵，则 . 答案：6 18.设则 . 答案： 19.若矩阵，则二次型 . 答案： 20.已知2阶方阵的特征值为则 . 答案：36 解析：由特征值的性质知的全部特征值为4，9，故. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21.计算行列式 解：. 22.已知矩阵矩阵满足求. 解：由， 即 23.设向量组，问取何值时，该向量组线性相关？何时线性无关？并在线性相关时把表示成的线性组合. 解：由，知 线性相关（线性无关） 当时，由得. 24.设二次型，确定常数的最大取值范围使该二次型正定. 解：二次型对应的矩阵的特征值为.当时，即时， 二次型正定. 25.对矩阵，求一个正交矩阵，使为对角矩阵. 解：由， 得的特征值. 由，得属于的特征向量；同理可得属于的特征向量分别为， 其单位特征向量分别为，. 故所求正交矩阵可取为， 它使. 26.求方程组的基础解系和通解. 解：对系数矩阵作初等行变换： ， 由此知方程组的用自由未知量表示的通解为： ， 取，得， 取，得， 取，得， 故方程组的通解为. 四、证明题（本题6分） 27.设均为维向量，已知可由线性表示，但不能由线性表示.证明：可由线性表示. 证明：由条件知存在常数（不全