第四章 电子轨迹方程 强流电子光学 教学课件.pptVIP

4.2.2 普遍情况下的电子光学折射率 由前面所述分析，我们只需要找到电子在静场中运动的拉格朗日函数L，利用（11）式，求得广义动量，即电子光学折射率，将其代入欧拉方程，即可得到电子在场中运动的轨迹方程。 4.2.2.1 电子在静场中的L 在广义坐标系（q1,q2,q3）中，广义力Qi可以表示为： 其中，T表示动能。Qi代表力在广义坐标系中的分量 （12） （13） 4.2.2.1 电子在静场中的L 设有一个函数U，使得Qi满足如下方程： 联立（12）、（14）式，有： （14） 显然：T-U即是拉格朗日函数 4.2.2.1 电子在静场中的L 由此，确立寻找拉格朗日函数L的途径：由洛伦兹方程出发，找到Qi的表达式，并使其复合（14）式的形式，求得U，由于T是已知的，因此我们可以求得L。 用电位和磁矢位表示电场和磁场，并考虑电子运动产生的自磁场得： 4.2.2.1 电子在静场中的L 得力分量Fx： （16） （17） 经过等式变换整理得： 4.2.2.1 电子在静场中的L 同理可得Fy，Fz分量表达式: 由 4.2.2.1 电子在静场中的L 比较： （18） 可得： 从而得到电子在静场中的拉格朗日函数： （19） 4.2.2.2 电子光学折射率 电子光学折射率ne——广义动量P： 其中so表示运动方向上得单位矢量。 因而，求得电子折射率ne （20） 显然，上式的第一项体现了电场对电子运动的作用。第二项体现了电磁场的联合作用。因为so的方向是两场联合决定的。 4.2.3由ne推导轨迹方程 步骤： 1.先求得广义坐标系下轨迹方程 2.通过拉梅系数获得常用坐标系下的轨迹方程。 光学中，费马原理成立的条件是折射率满足欧拉方程： （21） 其中， 上式表示在广义正交曲线系中以弧长s为独立变量的电子轨迹方程。而实际应用中，我们需要以合适的变量u为独立变量： （22） 4.2.3.1 广义正交坐标系下轨迹方程 显然：广义坐标系中弧元： 又因为矢量so是运动方向上的单位矢量，也即是曲线s的切线方向上的单位矢量，即： 所以有： （23） （24） 4.2.3.1 广义正交坐标系下轨迹方程 所以有： 选取u为独立变量： 所以有： 4.2.3.1 广义正交坐标系下轨迹方程 显然有： 比较： 因此，在广义坐标系下，以u为独立变量的轨迹方程为： （25） 4.2.3.1 广义正交坐标系下轨迹方程 4.2.3.2常用坐标系下轨迹方程 1.直角坐标系（x,y,z）下： 将上式代入（25）式 4.2.3.2常用坐标系下轨迹方程 得，关于z的x方向轨迹方程： 和，y方向上分量方程： 4.2.3.2常用坐标系下轨迹方程 2. 圆柱坐标系下的轨迹方程： 注意： 4.2.3.2常用坐标系下轨迹方程 同理得到r和角向方向上关于z的轨迹方程： 4.3 相对论修正下的普遍轨迹 相对论修正下，洛伦兹方程为： 上式两端同时点乘速度矢量v，得 上式左边为： （26） （27） （28） 4.3 相对论修正下的普遍轨迹 所以有： 即： 规范化电位条件下： 由前面所得电子光学折射率： 则： 将mv进行相对论修正，即可得到相对论条件下的电子光学折射率。 （29） （30） 能量 守恒 4.3 相对论修正下的普遍轨迹 联立（29）、（30）得： 令相对论修正电位(约化电位)： 经过化简，得相对论修正下的电子光学折射率： （31） 4.3 相对论修正下的普遍轨迹 同理，只需要将F函数中电位换为相对论修正下得电位即可得到相对论修正下的电子轨迹方程： 圆柱坐标系下 直角坐标系（x,y,z）下： 4.3 相对论修正下的普遍轨迹 y方向分量式： x方向分量： 4.4 高斯轨迹eq和傍轴轨迹eq 高斯轨迹方程：轴对称场的近轴区有会聚电子的能力，为了简化方程求解，略去场表达式中和轨迹方程中r2项和r’2项及其更高项，这样简化的方程即是高斯轨迹方程。 因此有： 4.4.1 复合场中的高斯轨迹方程 将柱坐标系中的r方向的轨迹方程中第一项展开，得： （32） 引入近似： 并将高斯轨迹方程关于场分布的近似代入（32）式 4.4.1 复合场中的高斯轨迹方程 得到r方向的轨迹方程： 同理，得到角向近似轨迹方程： 将角向轨迹eq代入r方向轨迹方程得到： （34） （33） 4.4.1 复合场中的高斯轨迹方程 取V(z)不等于0，经过化简（33）式得： （35） 式（34）或（35）称为高斯轨迹方程。 经过化简和近似得到的高斯轨迹方程是一个理想的电子轨迹方程，而由此确定的电子轨迹可以作为一个基准，用来判断真实电子轨迹和轨迹偏差。 4.4.1 复合场中的高斯轨迹方程 注意： 高斯轨迹中省略了r2和导数平方项，及其更高项，并不代表这些项取很小值，但是对于场而言，却代表了限制电子在近轴区运动。 2.（35）