高数a(下)总复习(同济七版).pdfVIP

《高等数学 A》(第二学期)期末总复习 一、微分方程   (一)一阶微分方程：形如F(x, y, y )  0 ，y  f (x,y) 或M(xy. )dx N(x, y)dy  0 初值问题：y  f (x,y),y xx0  y0 注：一阶方程的通解必须且只能含有一个任意常数 1． 可分离变量方程：f (xdx) g (y )dy ，两边同时积分可得通解 dy y y dy du du dx   2．齐次方程：    ，令u ，y xu ，  u x   ，可分离变量形式 dx x x dx dx (u) u x   dy 3．一阶线性微分方程： 形如 P(x)y Q(x) ，Q( x)  0 ：齐次；Q( x)  0 ：非齐次. dx (1)齐次：dy P(x)y  0  dy P(xdx) ln| y| P(xdx) lnC 通解：y Ce P(x)dx  dx y (2)非齐次①常数变易法：先求相应齐次形式的通解，令其任意常数为变量，再代入原方程以确定该变量 ②公式解：y e P(x)dx Q(xe) P(x)dxdx C   (二)可降阶的高阶微分方程 (n)       (1)y  f (x) 型：连续积分；(2)y  f (x,y ) 型(不显含 的方程)：设y  p ，则y  p  p  f (x, p) y     dp dy y  f (y,y ) x y  p (3) 型(不显含 的方程)：设 ，则y  p  p  f (y,p) dy dy (三)二阶线性微分方程的解的结构   1．齐次：y P(x)y Q(x)y  0 ， 通解：y Cy (x) C y