第7章-空间解析几何 高等数学教学课件.ppt

§7.1 向量及其线性运算 §7.2 向量的数量积与向量积 §7.3 平面及其方程 §7.4 空间直线及其方程 §7.5 曲面及其方程 §7.6 空间曲线及其方程 一、空间直角坐标系 二、向量及其线性运算 三、用坐标表示向量的线性运算 四、向量的模，方向余弦，投影 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 一、平面的方程表示 二、点与平面及两平面的位置关系 一、空间直线的方程 二、直线与点、直线及平面的位置关系 一、一般曲面及其方程 二、旋转曲面 三、柱面与锥面 四、二次曲面与截痕法 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 例1 求以M0( x0, y0, z0) 为球心,半径为r (r 0) 的球面的方程． 解 设M( x , y, z )为所求球面S上任一点, 那么 |M0M| = = r, 即 凡是球面S上的点都满足该方程; 反之, 若x, y, z满足该方程, 则点( x, y, z )与M0的距离为r, 从而在球面S上, 所以该方程就是球面S的方程． 当球心在原点O( 0, 0, 0 )时, 球面方程为 例２　确定方程 所表示的曲面. 解　配方并整理后得 因此， 当 时, 方程表示以 为球心, 为半径的球面； 当 时，方程表示一点 (可看成退化的球面)； 当 时，方程的解集是一个空集, 不是任何曲面. 关于曲面的研究可归纳为两个基本问题： Ⅰ．已知曲面，建立该曲面的方程（如例1）； Ⅱ．已知方程，研究该方程所表示的曲面及其几何性质（如例2）． 球面可以看成是一个半圆绕直径旋转而得到的曲面. 一般称空间曲线Ｃ 绕直线l 旋转一周所得曲面为旋转曲面．曲线Ｃ 称为旋转曲面的母线, 直线l称为旋转曲面的轴．母线Ｃ上任一点旋转的轨迹是圆,称为纬圆．纬圆位于轴l的垂直平面上．过l 的半平面与旋转曲面的交线称为经线． 设在yOz面上有已知曲线C：F(y, z) = 0, 它也可以看成是yOz平面x = 0与空间曲面F(y, z) = 0的交线, 表示为 .将该曲线绕z轴旋转一周, 得到一个以z轴为轴的旋转曲面. 设P1(0, y1, z1) 为曲线Ｃ上任意一点, 则有F(y1, z1) = 0 ．当曲线Ｃ 绕z轴旋转时, 点P1 绕z轴到点P( x, y, z ), 这时z = z1保持不变, 且点P 到z轴的距离恒等于 , 即 , 将 代入 得 这就是曲线C： 绕ｚ轴旋转所得旋转曲面方程. 其实, 只要将C的第一个方程F (y, z) = 0中的y用 代替, 就可以得到(7.5.3). 同理, 可求得曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面方程: 例３ 将yOz面上的椭圆 (b0,c0) 绕z轴, y轴旋转, 求曲面方程． 解　在方程中保留z不变, 用 代替方程中的y，就得绕z轴旋转所形成的旋转曲面方程 ; 而保留y不变,用 代替方程中的z，就得到绕y轴旋转所形成的旋转曲面的方程 ． 这类曲面称为旋转椭球面． 例4 求抛物线 绕其对称轴（z轴）旋转所得曲面的方程． 解　曲线的第一个方程中保留z不动，用 代替y，所得旋转曲面方程为 该曲面称为旋转抛物面． 例５ 求双曲线