第6讲 关系表示与关系性质 北京大学计算机系离散数学讲义(ppt版).pptVIP

《集合论与图论》第6讲 第6讲 关系表示与关系性质 内容提要 关系运算性质(续) 关系矩阵, 关系图 自反, 反自反, 对称, 反对称, 传递 关系基本运算的性质(续) 定理6~定理9 定理6: 设R1,R2,R3是集合,则 (1) R1○(R2?R3) = (R1○R2)?(R1○R3) (2) (R1?R2)○R3 = (R1○R3)?(R2○R3) (3) R1○(R2?R3) ? (R1○R2)?(R1○R3) (4) (R1?R2)○R3 ? (R1○R3)?(R2○R3) 定理6(证明(1)) (1) R1○(R2?R3) = (R1○R2)?(R1○R3) 证明: ?x,y, x,y?R1○(R2?R3) ??z(x(R2?R3)z?zR1y)??z((xR2z?xR3z)?zR1y) ??z((xR2z?zR1y)?(xR3z?zR1y)) ??z(xR2z?zR1y)??z(xR3z?zR1y) ?x(R1○R2)y?x(R1○R3)y?x((R1○R2)?(R1○R3))y ?x,y?(R1○R2)?(R1○R3) 定理6(证明(3)) (3) R1○(R2?R3) ? (R1○R2)?(R1○R3) 证明: ?x,y, x,y?R1○(R2?R3) ??z(x(R2?R3)z?zR1y)??z((xR2z?xR3z)?zR1y) ??z((xR2z?zR1y)?(xR3z?zR1y)) ??z(xR2z?zR1y)??z(xR3z?zR1y) ?x(R1○R2)y?x(R1○R3)y?x((R1○R2)?(R1○R3))y ?x,y?(R1○R2)?(R1○R3). # 定理6(讨论(3)) (3) R1○(R2?R3) ? (R1○R2)?(R1○R3) 反例(说明=不成立): 设 R1={b,d,c,d}, R2={a,b}, R3={a,c}. 则R1○(R2?R3) = R1○? = ?, R1○R2={a,d}, R1○R3={a,d}, (R1○R2)?(R1○R3)={a,d}. # 定理7 定理7: 设F,G为二集合, 则 (F○G)-1 = G-1○F-1. 定理7(证明) (F○G)-1 = G-1○F-1 证明: ?x,y, x,y?(F○G)-1 ? y,x?(F○G) ? ?z(yGz?zFx)??z(zG-1y?xF-1z) ? ?z((xF-1z?zG-1y) ? x,y?G-1○F-1. # 定理8 定理8: 设R,S,A,B,A,为集合,A??,则 (1) R?(A?B) = (R?A)?(R?B); (2) R?∪A = ∪{ R?A | A?A}; (3) R?(A?B) = (R?A)?(R?B); (4) R?∩A = ∩{ R?A | A?A}; (5) (R○S)?A = R○(S?A). 定理8(证明(2)) (2) R?∪A = ∪{ R?A | A?A}; 证明: ?x,y, x(R?∪A)y ? xRy?x?∪A ? xRy ? ?A( A?A ? x?A ) ? ?A( xRy ?x?A ?A?A ) ? ?A( x(R?A)y ? A?A ) ? x(∪{ R?A | A?A} )y. ? R?∪A = ∪{ R?A | A?A} 定理8(证明(4)) (4) R?∩A = ∩{ R?A | A?A}; (A??) 证明:?x,y, x(R?∩A)y ? xRy?x?∩A ?(0?xRy)?x?∩A ?(?A(?A?A)?xRy)?x?∩A ??A(?A?A?xRy)??A(A?A?x?A) ??A((?A?A?xRy)?(?A?A?x?A)) ??A(?A?A?((xRy)? x?A))??A(?A?A)?x(R?A)y) ??A(A?A?x(R?A)y)? x(∩{ R?A | A?A} )y. ? R?∩A = ∩{ R?A | A?A} 定理8(证明(5)) (5) (R○S)?A = R○(S?A) 证明: ?x,y, x((R○S)?A)y ? x(R○S)y ? x?A ? ?z(xSz?zRy ) ? x?A ? ?z(xSz?zRy ? x?A) ? ?z((xSz?x?A) ? zRy ) ? ?z( x(S?A)z ? zRy ) ? x(R○(S?A))y. ? R?∪A = ∪{ R?A | A?A}. # 定理9 定理9: 设R,S,A,B,A,为集合,A??,则 (1) R[A?B] = R[A]?R[B]; (2) R[∪A