第5章整数规划第3，4，5节 运筹学ppt.pptVIP

第3节 割平面法 (Cutting-Plane Method) 例: (1)求解 LP 得到非整数最优解： ： （2）构造切割方程： 由 最终表中的第 2 个方程—— X2 + 3/4 X3 + 1/4 X4 = 7/4 有 b2 = 7/4 = 1 + 3/4 a23 = 3/4 = 0 + 3/4 ， a24 = 1/4 = 0 + 1/4 则 X2 + 3/4 X3 + 1/4 X4 = 7/4等价于： X2 + 3/4 X3 + 1/4 X4 = 1＋3/4也即 X2 －1＝ ?－3/4 X3－ 1/4 X4 也就是说： 3/4 – 3/4 X3 – 1/4 X4 ≤ 0也即： – 3X3 – X4 ≤-3 这就是切割方程。 增加松弛变量 X5 ，经化简得如下方程的约束条件添加到 B 表中。 - 3 X3 - X4 + X5 = - 3 ： （3）求解新的松弛问题 (2)将 和 都分解成整数部分N与非负真分数 f 之和，即 上式左边必然是整数，所以右边也必是整数。因为0＜fi＜1， 三、计算步骤： 第4节 0-1型整数规划 一、 引入0-1变量的实际问题 1. 投资场所的选定型 【例1】 某公司拟在某市东、西、南三区建立商业网点。拟议中有7个位置(点)Ai (i=1，2，…，7)可供选择。规定： 在东区，由A1，A2，A3三个点中至多选两个； 在西区，由A4，A5两个点中至少选一个； 在南区，由A6，A7两个点要么都选要么都不选。 如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利润估计为ci元。投资总额不能超过B元。问应选择哪几个点可使年利润为最大? 解题时先引入0-1变量xi (=1,2，…，7) 2. 相互排斥的约束条件 例某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如表所示。问两种货物各托运多少箱，可使获得利润为最大? 设x1，x2分别为甲、乙两种货物的托运箱数(当然都是非负整数)。这是一个(纯)整数线性规划问题，用数学式可表示为： max z =20x1+10x2 ① 5x1+4x2≤24 ② 2x1+5x2≤13 ③ x1，x2 ≥0 ④ x1，x2整数 ⑤ 继续以上问题的讨论，关于运货的体积限制为： 5x1+4x2≤24 (1) 设运货有车运和船运两种方式，上面的条件是用车运时的限制条件，如用船运时关于体积的限制条件为 7x1+3x2≤45 (2) 这两条件是互相排斥的。为了统一在一个问中，引入0-1变量y，令 于是(1)式和(2)式可由下述的条件(3)式和(4)式来代替：5x1+4x2≤24+yM (3)7x1+3x2≤45+(1-y)M (4) 其中M是充分大的数。当y=0时，(3)式就是(1)式，而(4)式自然成立，因而是多余的。当y=1时(4)式就是(2)式，而(3)式是多余的。引入的变量y不必出现在目标函数内，即认为在目标函数式内y的系数为0。 如果有m个互相排斥的约束条件(≤型)： αi1x1+αi2x2+…+αinxn≤bi，i=1，2，…,m 为了保证这m个约束条件只有一个起作用，我们引入m个0-1变量yi(i=1,2,…，m)和一个充分大的常数M，而下面这一组m+1个约束条件 αi1x１+αi2x2+…+αinxn≤bi+yiM， i=1,2,…，m (5) y1+y2+…+ym=m-1 (6) 就合于上述的要求。这是因为，由于(6)式，m个yi中只有一个能取0值，设yi*=0，代入(5)式，就只有i=i*的约束条件起作用，而别的式子都是多余的。 1.指派问题的引例 例1 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字。分别记作E、J、G、R。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书翻译成不同语种的说明书所需时间如下表所示。问应指派何人去完成何工作，使所需总时间最少?