第1讲 命题逻辑基础 北京大学计算机系离散数学讲义(ppt版).pptVIP

《集合论与图论》第1讲 第1讲 命题逻辑基础 1. 命题、命题符号化 2. 合式公式、真值表、永真式 3. 逻辑等值式、推理定律 4. 形式化证明 命题符号化 简单命题： p,q,r,p1,q1,r1,… 联结词： 合取联结词：? 析取联结词：? 否定联结词：? 蕴涵联结词：? 等价联结词：? 逻辑真值： 0，1 真值表(truth-table) 赋值(assignment)：给变元指定0、1值 n个变元，共有2n种不同的赋值 真值表(续) 永真式(tautology) 永真式:在各种赋值下取值均为真(重言式) 永假式:在各种赋值下取值均为假(矛盾式) 可满足式：非永假式 逻辑等值式(identities) 等值： A?B 读作：A等值于B 含义：A与B在各种赋值下取值均相等 A?B 当且仅当 A?B是永真式 例如： (p?q)?r ? ?p??q?r 常用逻辑等值式(关于?与?) 幂等律(idempotent laws) A?A?A A?A?A 交换律(commutative laws) A?B?B?A A?B?B?A 常用逻辑等值式(关于?与?) 结合律(associative laws) (A?B)?C?A?(B?C) (A?B)?C?A?(B?C) 分配律(distributive laws) A?(B?C)?(A?B )?(A?C ) A?(B?C)?(A?B )?(A?C ) 常用逻辑等值式(关于?与?) 吸收律(absorption laws) A?(A?B)?A A?(A?B)?A 常用逻辑等值式(关于?) 双重否定律(double negation law) ??A?A 德●摩根律(DeMorgan’s laws) ?(A?B)??A??B ?(A?B)??A??B 常用逻辑等值式(关于0,1) 零律(dominance laws) A?1?1 A?0?0 同一律(identity laws) A?0?A A?1?A 常用逻辑等值式(关于0,1) 排中律(excluded middle) A??A?1 矛盾律(contradiction) A??A?0 常用逻辑等值式(关于?) 蕴涵等值式(conditional as disjunction) A?B??A?B 假言易位(contrapositive law) A?B??B??A 归谬论 (A?B )?( A??B )??A 常用逻辑等值式(关于?) 等价等值式(biconditional as implication) A?B?(A?B)?(B?A) 等价否定等值式 A?B??A??B 等值式模式 A，B，C代表任意的公式 上述等值式称为等值式模式 每个等值式模式都给出了无穷多个同类型的具体的等值式。 等值式模式(举例) 蕴涵等值式模式 A?B??A?B 取A=p，B=q时，得到 p?q??p?q 取A=p?q?r，B=p?q时，得到 (p?q?r)?(p?q)??(p?q?r)?(p?q) 对偶原理 一个逻辑等值式，如果 只含有? ，? ，? ，0，1 那么，同时 把?与?互换 把 0 与 1互换 得到的还是等值式 对偶原理(举例) 分配律 A?(B?C)?(A?B )?(A?C ) A?(B?C)?(A?B )?(A?C ) 排中律(excluded middle) A??A?1 矛盾律(contradiction) A??A?0 对偶原理(举例、续) 零律(dominance laws) A?1?1 A?0?0 同一律(identity laws) A?0?A A?1?A 等值演算（举例） 例：(p?q)?r??p??q?r 解： (p?q)?r ? ?(p?q)?r （蕴涵等值式） ? (?p??q)?r （德●摩根律） ? ?p??q?r （结合律） 推理定律(deduction laws) 推出： A?B 读作：A推出B 含义：当A为真时，B也为真 A?B 当且仅当 A ? B是永真式 例如： (p?q ) ? ?p ?q 推理定律（举例） (p?q )??p ? q (p?q )??p ? q 是永真式 常见推理定律 附加律 A?(A?B) 化简律 (A?B)?A 常见推理定律（续） 假言推理 (A?B ) ? A?B 拒取式 (A?B ) ? ?B ??A 析取三段论 (A?B )??B ?A 常见推理定律（续） 假言三段论 (A?B)?(B?C)?(A?C) 等价三段论 (A?B)?(B?C)?(A?C) 常见推理定律（续） 构造性两难 (A?B)?(C?D)?