第16讲 锐角三角函数 新课标九年级数学竞赛辅导讲座.docVIP

第十六讲 锐角三角函数 古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin、cos、tg、ctg的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin2α+cos2α=1； 商数关系：tgα=，ctgα=； 倒数关系：tgαctgα=1． 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC中，∠A、∠B是锐角，且sinA＝，tanB=2，AB=29cm， 则S△ABC = ． 思路点拨 过C作CD⊥AB于D，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=，tanB=，设CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解题的关键是求出m、n的值． 注：设△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，R为△ABC外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S△ABC=； （2）． 【例2】 如图，在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC=1，则AC=( ) A． B． C．0.3 D． 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换． 【例3】 如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB于E，连结CE，求sin∠ACE的值． 思路点拨 作垂线把∠ACE变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比． 【例4】 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC， (1)求证：AC＝BD； (2)若sinC=，BC=12，求AD的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明； (2) sinC=，引入参数可设AD=12，AC＝13． 【例5】 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程的两个根． (1)求实数、应满足的条件； (2)若、满足(1)的条件，方程的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦? 思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立、等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数、应满足的条件． 学历训练 1．已知α为锐角，下列结论①sinα+cosα=l；②如果α45°，那么sinαcosα；③如果cosα ，那么α60°； ④．正确的有 ． 2．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，BC=1，cosB，则这个菱形的面积为 ． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB＝BD，利用此图可求得tan75°= ． 4．化简 (1)= ． (2)sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°= ． 5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( ) A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低 6．已知 sinαcosα=，且0°α45°则coα-sinα的值为( ) A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D是AC的中点，则ctg∠DBC的值是( )