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§3 估计量的评选标准 设总体X~ F(x, θ ), 其中 θ为未知参数。 X , X ,…, X 为来自该总体的样本。 1 2 n ˆ θ(X 1, , X n ) 为 θ的一个估计量。 估计量 ˆ 是一个随机变量，当样本 θ(X 1, , X n ) (X , …, X )有观测值(x , …, x )时，估计值为 1 n 1 n ˆ θ(x , , x ) 1 n 而当样本(X , …, X )有观测值(y , …, y )时，估计 1 n 1 n 值为 ˆ θ(y , , y ) 1 n 由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计值. 因此评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次 试验的结果来判断，而必须根据估计量的分布从 整体上来做评价。 当样本值取不同的观测值时，我们希望相应的估计 值在未知参数真值附近摆动，而它的均值与未知参 数的真值的偏差越小越好. 当这种偏差为0时，就 导致无偏性这个标准 . 1．无偏性 (Unbiased) ˆ θ X X 是未知参数 的估计量， 设 ( 1, , n ) θ ∈Θ 若 θ ，有 ∀ ∈Θ ˆ E ( ) θ θ ˆ 则称 θ为 θ 的无偏估计 . 在科学技术中,将 ˆ 称为以 ˆ E (θ) −θ θ 作为θ 的估计的系统误差, 无偏估计的意义 就是无系统误差。 2 2 例7.3.1 设总体X ∼N (µ，σ ) ，其中参数µ，σ 未知， X , X ,…, X 为来自总体的样本。试用极大 1 2 n 2 似然估计法求µ，σ 的估计量，并问是否是无偏 估计？若不是，请修正它成为无偏估计。 解：由前面的例7.1.7得 2 µ 和σ 的极大似然估计分别为 ˆ 1 n µ X ∑X i n i 1 ˆ 2 2 1 n 2 σ Sn ∑(X i −X ) n i 1 1 n 1 n