Lec3 基于生灭过程的简单排队模型 排队论及其应用 教学课件.pptVIP

* L，Lq，W，Wq的求解如普通修理工模型，其中，有效的到达速率为  有后备的修理工模型等待时间分布 一个客户到达时系统中有n个客户的概率 对无后备的修理工模型，根据Bayes公式 * * 对有后备的修理工模型 获得等待时间分布的方法和M/M/c/K相同 * 状态相关服务 目前讨论的所有模型，服务是状态无关的，即服务速率不受系统内客户数量的影响。然而，在很多排队系统中，当太多的客户累积在队列中的时候，服务器会加快服务速率 考虑一个排队系统，服务器有两种速率：慢速服务和快速服务。其它与M/M/1相同 * 应用生灭过程稳态解 其中ρ1=λ/μ1，ρ=λ/μ1，这里只需要确保ρ1即有稳态 系统中平均客户个数（假设ρ1 ≠ 1） * * 队列平均长度 队列等待时间 系统等待时间 即 为平均服务时间 * 例子：自动洗车机 一台自动洗车机有两档，慢档和快档，慢档平均40分钟洗好一辆车，快档20分钟。洗车时间服从指数分布。换档可以在任意时刻进行。汽车到达间隔30分钟，泊松过程，可以无限等待。考虑两种策略： 只要有车等待，机器换到快档 超过一辆车等待，机器换到快档 两种策略下，车子的平均等待时间各为多少？ * 策略1，k=2 策略2，k=3 当机器在慢档运行，每小时开销￥15，快档每小时￥24。机器空闲时不产生开销。哪种策略更经济？ 系统中k个客户时换档 Cost(2) ≈￥16.8/小时，Cost(3) ≈￥17.22/小时 策略1下机器尽量使用快档服务客户，产生较多空闲时间，开销反而更小 * K=2 * K=3 更一般的状态相关服务模型 当系统中有n个客户，服务速率调整为μn=nαμ（α0）。 应用生灭过程稳态解 当α0，p0收敛。如果α=1， * 这时模型变为M/M/∞ * 非耐心客户 目前讨论的所有模型中，只要有空闲等待位，客户即等待服务，而与等待队列长度无关。如果一个客户为非耐心客户，他/她的行为受到等待队列长度的影响。三种情况 类型I：客户到达时视队列长短决定加入、离开。 类型II：客户无条件加入队列，但是根据在队列中的等待时间决定是否继续等待 类型III：多个队列，客户视其它队列的长短决定更换队列（超市check out） * 类型I： 当一个M/M/1系统中已有n个客户时，新到达客户以概率bn选择在队列中等待，0≤bn+1≤bn ≤1 求解L, W, Lq, Wq的方法同M/M/1 特例：M/M/1/K，当n≤K-1，bn=1；否则bn=0。 类型II： 当一个M/M/1系统中已有n个客户时，排队中客户在Δt时段内离开队列的概率为r(n)Δt。换言之， 客户离开排队系统的速率为r(n)+μ。如果客户同时为类型I的非耐心客户，则 * * M/M/1/1暂态分析 目前的讨论限于稳态，t→∞条件下系统在每个状态的概率，与初始状态无关 暂态分析考虑系统从初始状态开始的演化过程 考虑M/M/1/1系统。λ0=λ，λn=0，μ1=μ。从CK等式获得微分方程 * 由于 ，对p1(t)解常微分方程有 从而有 显然当t趋于无穷，系统达到稳态 * M/M/1/∞和M/M/ ∞暂态分析 M/M/1/∞的微分方程 M/M/ ∞的微分方程 采用z变换和拉普拉斯变换 暂态分析不是排队论重点 * 谢谢！ Question and Answer * * 例：银行柜台 某银行有两个柜台，一个负责存款一个负责取款。客户到达两个柜台的平均速率都是20人/每小时，可视为泊松过程。柜台处理一项业务的平均时间为2分钟，服从指数分布。现在银行考虑将两个柜台改为存取业务都可以办理，这样由于熟练程度下降，业务办理平均时间延长至2.4分钟。从以下角度比较这两种方案。 滞留银行的人数 客户在银行的时间 客户等待超过5分钟的概率 柜台空闲时间 * 方案1：两个M/M/1 方案2：M/M/2 * * M/M/c/K排队模型 系统里只允许存在K个客户。其它同M/M/c。 K≥c，因为至少可以有c个客户，K-c个等待位 只有p0,...,pk有意义，（系统中至多K个客户） 应用生灭过程稳态解 pK被称为阻塞概率（blocking probability），因为当系统中有K个用户时，新到达的客户不能进入排队系统，这时系统被阻塞。 * 令r=λ/μ，ρ=λ /cμ * * 在M/M/c/K排队系统中，由于系统中最多只有K个客户。当系统中已经有K个客户的时候，新到达的客户不能获得等待位而离开，因此这些客户并没有进入M/M/c/K排队系统。客户进入系统的速率是λeff≤ λ。如果ρ