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第十讲 抽样分布 一、抽样分布 区分三种不同性质的分布： 总体分布：总体内个体数值的频数分布 样本分布：样本内个体数值的频数分布 抽样分布：某一种统计量的概率分布 1. 抽样分布的概念 抽样分布是从同一总体内抽取的不同样本的统计量的概率分布。 抽样分布是一个理论的概率分布，是统计推断的依据。 基本随机变量分布与抽样分布 基本随机变量分布：理论分布中描述构成总体的基本变量的分布； 抽样分布：样本统计量的理论分布；样本统计量如平均数、两平均数之差、方差、标准差、相关系数、回归系数、百分比率等等是基本随机变量的函数，即统计量是由基本随机变量计算而来的，故抽样分布又称为基本随机变量函数的分布。 2．平均数抽样分布的几个定理 ⑴．从总体中随机抽出容量为n的一切可能样本的平均数之平均数等于总体的平均数。 ⑶．从正态总体中，随机抽取的容量为n的一切可能样本平均数的分布也呈正态分布。 ⑷．虽然总体不呈正态分布，如果样本容量较大，反映总体μ和σ的样本平均数的抽样分布，也接近于正态分布。 二．标准误 某种统计量在抽样分布上的标准差，称为标准误。标准误用来衡量抽样误差。标准误越小，表明样本统计量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性，用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。因此，标准误是统计推断可靠性的指标。 平均数标准误的计算 1．总体正态，σ已知（不管样本容量大小）， 　　　或总体非正态，σ已知，大样本 平均数的标准误为： 平均数标准误的计算 2．总体正态，σ未知（不管样本容量大小）， 　　　或总体非正态，σ未知，大样本 平均数标准误的估计值为 三．平均数离差统计量的分布 由样本的平均数对总体平均数进行估计，首先要了解平均数离差统计量的分布，才能根据一定的概率，由样本的平均数对总体的平均数做出估计。 1．总体正态，σ已知（不管样本容量大小）， 或总体非正态，σ已知，大样本 平均数离差的的抽样分布呈正态分布 2．总体正态，σ未知（不管样本容量大小）， 或总体非正态，σ未知，大样本 平均数离差的的抽样分布呈t分布 t分布的特点 ⑴．形状与正态分布曲线相似 ⑵．t分布曲线随自由度不同而有一簇曲线 ⑶．自由度的计算： t分布是小样本分布，小样本分布一般是指n30。t分布适用于当总体标准差σ未知时用样本标准差s代替总体标准差σ ，由样本平均数推断总体平均数以及2个小样本之间差异的显著性检验等。 附 表 1 附 表 2 3．总体σ未知，大样本时的近似处理 样本容量增大后，平均数的抽样分布接近于正态分布，可用正态分布近似处理： 方差及标准差的分布 四. Χ2分布及其特点 1．χ2分布 χ2分布是统计学中应用较多的一种抽样分布。 χ2值是从同一总体中随机抽取的无限多个容量为 n 的样本数据的平方和或标准分数的平方和，即 如果正态总体的平均数未知，需要用样本平均数作为总体平均数的估计值，这时公式变为： 此时，χ2分布的自由度为df ＝n－1。 χ2分布曲线 相 对 频 数 2．χ2分布的特点 ⑴．χ2分布呈正偏态，曲线的右侧无限延伸，但不与基线相交。 ⑵．χ2值都是正值。 ⑶．χ2分布的和也是χ2分布。 ⑷．χ2分布随自由度的变化而不同。自由度越小，曲线偏斜度越大；自由度越大，分布形态越趋于对称。 附表 两个样本方差比的抽样分布 练习一 什么情况下样本均值分布是正态分布？?????a）总体分布是正态分布?????b）样本容量在30以上?????c）a）和b）同时满足?????d）a）或b）之中任意一个条件满足? 练习二 一个正态总体，u=70，σ=20，从中随机抽取 n＝16的样本，得到样本均值大于75的概率是_____。? 练习三 关于t分布，下列表述不正确的是?A．是随着n的大小而变化的一簇曲线?B．是对称的分布C．自由度越大，t分布与标准正态分布差别越小?D．在自由度较小时，t分布是偏态分布 练习四 关于标准正态分布曲线，下列表述不正确的是 A.与X轴所围成区域的面积为1 B.平均数为1，标准差为0 C.在Z＝0点达到最大值 D.Z＝±1两点为拐点 练习五 一个总体的均值和标准差是u=100，σ=15。如果将这个分布转换成u=50，σ=20的分布，原来的120分在新的分布中应该是_____分。? m = 10, n = 4 m = 10, n = 10 m = 10, n = 15 m = 4, n =10 m = 10, n = 10 m = 15, n = 10 F分布 * * 概率密度 此外，还可以是标准差、方差、比率、相关系数等的概率分布。 ⑵．容量为n的平均数在抽样分布上的标准差（即平均数的标准误），等于总体标准差除以n的平方根。 （10．1） （10．2） 中心极限定理 当