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绪论 绪论 第一章 §1 行列式的定义 本节我们将讨论： 方程个数和未知数个数相同，且 系数满足特定条件的线性方程组的求 解，从而得到行列式这个工具. 本节结构 一、 二阶行列式的引出 于是 二、三阶行列式的引出 三阶行列式定义 三、n 阶行列式的引出 大胆猜测 -----正确求解线性方程组的解 预备知识--全排列及其逆序数 元素的全排列 例如排列 54231 自然排列 观察二阶行列式 观察二阶行列式 n 阶行列式定义 n 阶行列式定义的三个要点 四、思考与讨论 五、四类特殊行列式计算 n 阶行列式也可以定义为： 六、关于克拉默（Cramer）法则 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组 思考题： 练习：判断下面各方程组解的存在情况 小结 t=9 5前面比5大的数有0个； 4前面比4大的数有1个； 2前面比2大的数有2个； 3前面比3大的数有2个； 1前面比1大的数有4个. t=0+1+2+2+4=9 5 4 2 3 1 若一个排列中的所有元素按标准次序 排列，则称之为标准排列或自然排列. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列； 逆序数为偶数的排列叫做偶排列. 不同行不同列2个元素的乘积； 1项为正,1项为负； 2！项的代数和； 当行标调成标准排列时 列标排列 逆序数t 1 2 2 1 0 + - 1 观察三阶行列式 3!项代数和 不同行不同列 三个元素的乘积 三项为正,三 项为负. 观察三阶行列式 当行标调成标准排列时 列标排列 逆序数t 123 0 + 231 2 + 312 2 + 321 3 - 213 1 - 132 1 - 将n2个数排成n行n列的数表，按下列规 称为n阶行列式, 其中t为列标排列的逆序数。 则计算出的数，即 （1）是n!项的代数和； 如果一个行列式有一行（或一列）的元素 全为零，则此行列式的值必为零。 （2）每一项的符号由逆序数的奇偶性确定； （3）每一项是取自不同行不同列的n个元素的乘积（这样的项恰有n!项）. 由行列式的定义不难看出： = -24 or 24 ? 1）主对角行列式 2）副对角行列式 的逆序数为 3）下三角行列式 4）上三角行列式 行标逆序 （１）， 定理１ 非齐次线性方程组（１），当 ,有唯一解 定理２ 非齐次线性方程组（１）, （１）， 可能无解，可能有无穷多解． 时 有无穷多解 无解 齐次线性方程组 （２） 定理３ 齐次线性方程组（２）， 定理４ 齐次线性方程组（２）， 时有非零解． 时只有零解． * 线性代数的中心内容： 线性方程组求解 一次方程 问题描述： Lagrange定理：给定n+1个不同点，插值这n+1 当我们手里握着n+1个黄豆，随意抛到地平面上，建立直角坐标系，每个黄豆将占据一点，求一条n次多项式曲线插值这n+1个点？ 个不同点的n次多项式曲线存在且唯一. 比如：100个黄豆，99次多项式曲线. 100个黄豆： 用高斯消元法求解麻烦！ 寻找新工具便于用计算机求解 4个黄豆模拟 一个应用：二次曲线和二次曲面的形状判定 线性代数的中心内容： 线性方程组求解 解的存在性 解的结构 由高斯消元法引入两个求解工具 行列式 矩阵 一个中心方法：矩阵的初等行变换 一次方程 二阶行列式的引出 三阶行列式的引出 n阶行列式的引出 四类特殊行列式计算 克拉默（Cramer）法则 我们从最简单的二元方程组出发，探索其解的规律 用高斯消元法求其解： 方程组有唯一解 请观察，此公式有何特点？ 1、 分母相同，由方程组的四个系数确定. 2、分子分母都是两数乘积之差. 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表 数 称为数表（4）所确定的 二阶行列式, 记为 用二阶行列式表示两数乘积之差 二阶行列式定义 主对角线 副对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 系数行列式 方程组有唯一解 例1 解 进行高斯消元可以得到： 其中 记 （6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式. 三阶行列式的计算 例2 解线性方程组 解 由于方程组的系数行列式 故方程组的解为: 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的. 对角线法则 二阶与三阶行列式的计算 例3 解 设所求的二次多项式为 由题意得 又 得 故所求多项式为 由二元方程组（两个变量、两个方程） 求解得二阶行列式 由三元方程组（三个变量、三个方程） 求解得三阶行列式 …… 由n 元方程组（n 个变量、n 个方程） 求解得n 阶行列式 当 时, 是用 替换 而得. 中的第i列 但是四阶及以上阶行列式没有对角线法则 说明: 观察二阶与三阶行列式的计算 n阶行列式的计算原