(第41讲)探索性问题 高考数学第二轮复习专题讲座45讲.docVIP

题目 高中数学复习专题讲座探索性问题 高考要求 高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力,是命题者根据学科特点,将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的,要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题 重难点归纳 如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题 条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征 解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法 （1）直接求解； （2）观察——猜测——证明； （3）赋值推断； （4）数形结合； （5）联想类比； （6）特殊——一般——特殊 典型题例示范讲解 例1已知函数(a,c∈R,a＞0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值，且f(1)＞ （1）求函数f(x)的解析式； （2）是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点(1,0)对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由 命题意图 本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力 知识依托 函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题 错解分析 不能把a与b间的等量关系与不等关系联立求b；忽视b为自然数而导致求不出b的具体值；P、Q两点的坐标关系列不出解 技巧与方法 充分利用题设条件是解题关键 本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证 解 （1）∵f(x)是奇函数 ∴f(–x)=–f(x)，即 ∴–bx+c=–bx–c ∴c=0 ∴f(x)= 由a＞0，b是自然数得当x≤0时，f(x)≤0， 当x＞0时，f(x)＞0 ∴f(x)的最大值在x＞0时取得 ∴x＞0时， 当且仅当 即时，f(x)有最大值 ∴=1,∴a=b2 ① 又f(1)＞，∴＞,∴5b＞2a+2 ② 把①代入②得2b2–5b+2＜0解得＜b＜2 又b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)= （2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称， P(x0,y0)则Q（2–x0,–y0)，∴,消去y0，得x02–2x0–1=0 解之，得x0=1±, ∴P点坐标为()或() 进而相应Q点坐标为Q（）或Q() 过P、Q的直线l的方程 x–4y–1=0即为所求 例2如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、c间的距离为，A、B为直线a上两定点，且｜AB｜=2p，MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段 （1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN的外心C的轨迹E； （2）接上问，当△AMN的外心C在E上什么位置时，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直线c的距离） 命题意图 本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力 知识依托 求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程 错解分析 ①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，②第二问中确定C点位置需要一番分析 技巧与方法 本题主要运用抛物线的性质，寻求点C所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目 解 （1）以直线b为x轴，以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系 设△AMN的外心为C(x,y)，则有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)， 由题意，有｜CA｜=｜CM｜ ∴,化简，得 x2=2py 它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线 （2）由（1）得，直线c恰为轨迹E的准线 由抛物线的定义知d=｜CF｜，其中F（0,）是抛物线的焦点 ∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜ 由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的点 直线BF的方程为联立方程组 得 即C点坐标为() 此时d+｜BC｜的最小值为｜BF｜= 例3已知三个向量、、，其中每两个之间的夹角为120°，若｜｜=3,｜｜=2,｜｜=1，则用、表示为 解析 如图–与，的夹角为60°,且||=|–|=3 由平行四边形关系可得–=3+, ∴=–3– 答案 =–3– 例4 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？ 2 解析 飞机成功飞行的概率分别为 4引擎飞机为