数模第一章答案(张绍辉给)精选.docVIP

第一章习题参考答案 1. 请编写绘制以下图形的MATLAB命令，并展示绘得的图形. (1) 、分别是椭圆的内切圆和外切圆. 解答 方法一（显函数和伸缩变换） 的显函数形式为，并利用伸缩变换：的横、纵坐标都是的两倍，的横、纵坐标分别是的两倍和一倍. 编写程序时运用好MATLAB函数plot的语法格式2（x是向量， y是矩阵），以及格式4，使程序简洁. 使用命令axis equal，才能绘得真正的圆. 程序： x=-1:.05:1; % 由40段折线连接成半圆周 y=sqrt(1-x.^2); plot(x,[y;-y],k,2.*x,[y;-y;2.*y;-2.*y],k) axis equal title(方法一（显函数）) 绘得的图形： 评价：方法一绘得的图形在外切圆和椭圆的左右两端看起来明显还是折线，而在其余地方看起来比较光滑，原因在外切圆和椭圆的左右两端，导数趋于无穷大，所以，虽然x的步长是固定的，但是在左右两端，y会比别处有更显著的变化. 当然，如果令x的步长更小，例如x=-1:.01:1，绘得的图形将会看起来更光滑一些. 方法二（参数方程和伸缩变换） 的参数方程为，关于伸缩变化和MATLAB函数plot的语法的讨论与方法一相同. 特意选取参数t的步长，使得半圆周仍然由40段折线连接而成，如同方法一一样. 程序： t=linspace(0,2*pi,81); % 由40段折线连接成半圆周 x=cos(t); y=sin(t); plot(x,y,k,2.*x,[y;2.*y],k) axis equal title(方法二（参数方程）) 绘得的图形： 评价：虽然半圆周由同样多的折线段连接而成，但是方法二绘得的图形看起来处处一样光滑，事实上，方法二通过等分圆心角来取得圆周上的采样点，并连结线段，所以绘得的“圆形”实际上是正多边形. (2) 指数函数和对数函数的图像关于直线y=x对称. 解答 指数函数和对数函数互为反函数，在MATLAB函数plot的输入当中交换x和y的次序，就实现反函数，而且图像就是关于直线y=x对称. 根据两点确定一条直线的原理，绘制直线段只需给出两端点的坐标. 使用命令axis equal，才能绘得真正的对称图形，加上坐标网格，能增强对称效果. 指数函数的自变量x的取值区间的左端不能太小，否则绘得的图像会在左边有一段与x轴重合. 程序： x=-3:.1:3; y=exp(x); plot(x,y,k,y,x,k,[-3,20],[-3,20],k) axis equal axis([-3,20,-3,20]) grid xlabel(x) ylabel(y) title(y=e^x 和 y=ln x 的函数图像关于直线 y=x 对称) 绘得的图形： (3) 黎曼函数 的图像（要求分母q的最大值由键盘输入）. 解答 输入的英文单词是input，通过在MATLAB帮助文档检索input这个关键词，查到实现键盘输入的MATLAB函数是input，语法格式为： （1） user_entry = input(prompt) 输入项是一个字符数组，input将该字符数组显示在命令窗口，作为提示语，等待用户从键盘输入数值数组并按回车键；input将用户从键盘输入的数值数组赋值给user_entry所代表的变量名. （2） user_entry = input(prompt, s) 第二输入项是规定的字符“s”，表示等待用户从键盘输入的是字符数组. 条件“是既约分数，0x1，q0”，即p和q是正整数，pq，p和q的最大公约数等于1. 例如： 当q=2时，有黎曼函数的图像的一个坐标点(1/2 , 1/2)； 当q=3时，有黎曼函数的图像的两个坐标点(1/3 , 1/3)和(2/3 , 1/3)； 当q=4时，有黎曼函数的图像的两个坐标点(1/4 , 1/4)和(3/4 , 1/4)，而x=2/4不是既约分数；…… 可见，在程序中应设置二重循环语句： 第一重（外重）是分母q从2到由键盘输入的最大值的循环，步长为1； 第二重（内重）是分子p从1到q-1的循环，步长为1，如果p和q的最大公约数等于1，就把p/q和1/q分别添加入横坐标数组x和纵坐标数组y. 注意x和y需要在循环语句之前说明为空数组. 当x为有理数（0x1）时，黎曼函数的图像是离散的点集；当x为无理数（0x1）或x=0和1时，黎曼函数的图像是x轴上的0到1之间的稠密点集，看起来就是x轴上从0到1之间的直线段. 因此，图像应该由很多离散点以及x轴上从0到1之间的直线段共同组成. 利用axis命令控制坐标图的坐标范围是，使得坐标图的下边界恰好是x轴上从0到1之间的直线段. 程序： n=input(分母的最大值 n = ); x=[];