数学物理方程练习题第七版(学生用)精选.pdfVIP

《数学物理方程与特殊函数》习题 练习一 1．写出长为L 的弦振动的边界条件和初始条件： （1）端点x 0, x L 是固定的； （2 ）初始状态为f (x) ； （3 ）初始速度为g (x) ； （4 ）在任何一点上，在时刻t 时位移是有界的. 2 ．写出弦振动的边界条件：（1）在端点x 0 处，弦是移动的，由g (t) 给出；（2 ） 在端点x L 处，弦不固定地自由移动. 3 ．验证函数 是方程xu − yu 0 的解，其中 是任意连续可微函数. u f (xy ) x y f 练习二 1. 证明u(x , t) e−8t sin 2x 是如下定解问题的解: 2 ∂u ∂ u 2 ，u t u π t ， . 2 (0, ) ( , ) 0 u(x ,0) sin 2x ∂t ∂x 2. 设F、G 是二次可微函数， （1）证明 ( , ) (2 5 ) (2 5 ) 是方程4y 25y 的通解； y x t F x + t + G x − t tt xx （2 ）求其满足条件 (0, ) ( , ) 0, y x 0) sin 2x , y (x ,0) 0 的解. y t y π t ( , t 2 ∂ z 2 3 ．（1 ）求二阶偏微分方程 x y 的通解，（2 ）求该方程满足定解条 ∂x∂y 2 的特解. z(x,0) = x ,z(1, y) = cosy 1 练习三 1. 求下列固有值问题的固有值和固有函数： X ′′(x ) + lX (x ) 0,   ′ X (0) X (l ) 0.  2 ．求如下定解问题的解：  2 u a u x l t tt xx , 0 , 0,  u(0,t u l t  ) x ( , ) 0,  3πx 5πx