上海大学机自学院信号与系统(第五章).pptx

信号与系统分析基础;第五章：拉普拉斯变换和 连续时间系统的复频域分析 5.1 概述 傅立叶变换物理意义清楚，对于信号与系统分析是很有效的，得到相当广泛的应用。但它也有不足： ;5.2 拉普拉斯变换 1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 考察正指数函数f(t)=e2tu(t)，傅里叶变换不存在。为 此，对该函数做一种改造： ;f(t)e-σt的傅里叶逆变换为 因s=σ+jω，则ds=jdω；当ω→∞时，s趋于无穷远点 ，故 （5.2） ;2、拉普拉斯变换的收敛域 对函数f(t)的拉普拉斯变换从本质而言是对f(t)e-σt 的 傅里叶变换，为保证拉普拉斯变换存在，函数 f(t)e-σt 应 保证绝对收敛，既满足： （5.7） 使上式成立的σ的取值范围，称为拉普拉斯变换的收敛 域。;若 存在σ1，当-σ-σ1，即σσ1 ， 有 f1(t)e-σt→0 存在σ2，当-σ-σ2，即σσ2 ， 有 f2(t)e-σt→0 且 σ1σ2 则f(t)的拉氏变换在复平面 σ1Re(s)=σσ2上收敛。 σ=σ1 、σ=σ2为收敛区域边界。;综上所述： 因果信号f(t)u(t)的收敛域一般为Re(s)σ1； 反因果信号f(t)u(-t)的收敛域一般为Re(s)σ2； 双边信号f(t)的收敛域一般为σ1Re(s)σ2 ； 不同信号f(t)可能有相同形式的象函数F(s)，但它们的 收敛域不相同，如 ; 实际工作中，信号f(t)的采集均有起始点t0，不妨令 t0=0，故信号 f(t)为因果( 右边 )信号， f(t) 的拉普拉斯变 换为单边的拉氏变换。若无特别说明，今后所指的拉氏 变换均为单边的拉普拉斯变换。 ;5.3 拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯变换是在傅里叶变换的基础上，导出的一 种新的数学变换，因此，其性质与傅里叶变换性质有类 似形式。 ;2、尺度变换性质 若 L [f(t)]=F(s)，且Re(s)σ0 ，存在实数a0， 使 L [f(at)]= ，且Re(s)aσ0 （5.9） ;3、时移性质 若 L [f(t)]=F(s)，则当t00时，有 L [f(t-t0)u(t-t0)]=e-st0F(s) （5.10）;将时移性质与尺度变换性质结合后，有 L （5.11） ;4、频移性质 若 L [f(t)]=F(s) 则 L [f(t)e±αt]= F(s α) （5.12）;解：因为L [f(t)]=L [e-2tu(t)]=1/(s+2) 由尺度变换特性，得 L [f(2t)]=1/(s+4) 而 cosω0t=(e jω0t + e -jω0t )/2 于是 L [y(t)]=L [f(2t)e jω0t +f(2t)e -jω0t ]/2 =[1/(s-jω0+4) + 1/(s+jω0+4)]/2=;且 L （5.16） 一般地，有 L （5.17） ;例5.6 下图所示电路在t=0时开关S闭