量子力学 05中心力场.pptVIP

第5章 中心力场 一、角动量守恒：经典力学中，中心力场V（r）中运动的粒子角动量： 为守恒量 证明： （1） 在量子力学中，在中心势场V（r）中的运动的质量为 粒子的Hamiltonian量为 （2） 由此可证明 为守恒量 （3） 二、径向运动方程。 在球坐标中，将Hamiltonian量改写成 （4） 并设该Hamiltonian量本征方程或不含时Schr?dinger方程为 （5） 由Hamiltonian量组成可看出，用分离变量法求解，即 （6） 代入 本征方程，可的出径向波函数满足的方程： （7） 如果令 （8） 则有 （9） 由上式可看出粒子的能量本征值与l有关，而与m无关，而其本征波函数还与m有关，每一个l取值，m取2l+1个值：故存在度简并，这种简并来源于粒子所处的势场具有球对称性，故与Z轴取值无关。 上述径向方程解的情况有两种： ⑴如果E0，则E的取值为连续变化，即体系能量具有连续谱，电子此时离开原子核而运动到无限远处。 ⑵如果E0，E的取值是分离的，便与径向量子数有关 ， =0,1,2,3…被称为径向量子数，故 =0,1,2,3,4…. S,p,d,f,g…. （光谱学中） 或 1. exp[im?] ? exp[im(?+?)] = (-1)m exp[im?]， 即 exp[im?] 具有 m 宇称。 因为 cos ? → cos (? -θ) = – cosθ 或 ζ → – ζ， 所以 P ? m (ζ) → P ? m (– ζ)，波函数的宇称将由 P ? m (ζ) 的宇称决定。 根据球谐函数形式：Y?m 变换由exp[im?]和 P? m(cos?)两部分组成。 P? m(ζ)的宇称 由 P? m(ζ) 封闭形式知,其宇称决定于 又因为 (ζ2-1)? 是 ζ 的偶次幂多项式，所以 当微商次数 ( ? + m ) 是奇数时，微商后得到一个奇次幂多项式，造成在 ζ → -ζ 变换时，多项式改变符号，宇 称 为 奇； 当微商