2013高考第一轮复习 导数(理).docVIP

高考第一复习 导数（理） 基础梳理 1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为. 若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为. 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)导数的概念：函数在处导数的定义：一般地，函数在处的瞬时变化率是_______，我们称它为函数在处的导数，记作或。 2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。 3、导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率是，相应地切线的方程是。 4．基本初等函数的导数公式 若f(x)＝c，则f′(x)＝0； 若f(x)＝xα(α∈R)，则f′(x)＝αxα－1； 若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x； 若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x； 若f(x)＝ax(a0，且a≠1)，则f′(x)＝axln_a； 若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex； 若f(x)＝logax(a0，且a≠1)，则f′(x)＝； 若f(x)＝ln x，则f′(x)＝. 5、导数运算法则 法则1 ； 法则2 , 法则3 6、复合函数的导数 设函数在点处有导数，函数在点的对应点处有导数，则复合函数在点处也有导数，且 或。 7、复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。 8、函数的单调性： 若函数在区间（）上单调递增，则，反之等号不成立；若函数在区间（）上单调递减，则，反之等号不成立。 9、函数的极值： （1）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作＝，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作＝。极大值和极小值统称为极值。 （2）求函数在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数；（ii）的根；（iii）检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值。 9．定积分 (1)定积分的定义及相关概念 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0x1…xi－1xi…＜xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx. 在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式． (2)定积分的性质 kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)． [f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx. f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中acb)． ．微积分基本定理 如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式． ．定积分的应用 (1)定积分与曲边梯形的面积 定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来定： 如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为(　　) A．6　　　　B．18　　　　C．54　　　　D．81 [答案]　B [解析]　∵s(t)＝3t2，t0＝3，∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－3·32 ＝18Δt＋3(Δt)2∴＝18＋3Δt.当Δt→0时，→18，故应选B. 在处可导，则等于 （ ） 　　A． B． C． D． .故选 考向二　导数的运算 例　 （2）　 　（3） 【解题思路】按运算法则进行 [解析] （1） (4)法一　y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11. 法二　y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·　(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝3x2＋12x＋11. （5） ∴ 训练2、 求下列函数的导数： (1)y＝xnex； （2） (3)y＝； (4)y＝exln x； (5)y＝(x＋1)2(x－1)． 解　(1)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)． （2）e－x（cosx+sinx）+e－x（－