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第二章 极限;基本要求;极限思想;例2. ; ;; ;数列 的极限是 ,用逻辑符号可简要表为:;OK! We find the N ！！;N; 要证明极限 ，只须证明 ，有 . “ ”是求证者给出的，给出 之后，要找 ,使 时，有不等式成立 . 因此找 是证明数列极限问题的关键，怎样找 ？应从解关于 的不等式 找 .满足此不等式的是正整数集 的无限子集（从某个正整数以后的所有正整数），已知 不是唯一的，只需在此无限子集中任意取一个正整数作为 即可.;例;§2.2 收敛数列; ; ;定义(四则运算). 若{an}和{bn}是两个数列, 则 {an ? bn}, {an ? bn}, {an ? bn}, 分别称为 的和、差、积、商数列.;定理;例;三、数列的收敛判别法; ;公理 (实数连续性) 单调有界数列必有极限? ;又因为;例 证明数列;充分性的证明从略。;例;证明: 若 ,则数列 发散. 证法: 由柯西收敛准则的否定叙述. 证明: 有 　　　　　　　　　　　　　　　　　 根据柯西收敛准则的否定叙述，数列 发散.;四. 数列的子列;定理10.; ;§2.3 函数极限;定义1;定义; ;对任意给定的ε0,总存在M0,使当x进入区域 之内时,曲线y=f(x)上的点M(x,f(x))必落在水平直线y=b－ε与y=b+ε之间的带形区域之内.;为了明显地看到它们的异同，将三个函数的极限定义列表对比如下：;的充分必要条件是;证明;二、当 时函数 的极限 ;几点说明:;函数f(x)之值进入点b的ε邻域(b－ε,b+ε)之内,即曲线y=f(x)上的所有点M(x,f(x))必落在直线y=b－ε与y=b+δ之间的矩形区域ABCD之内.;;; ; ;例证明;三、无穷大;的定义:;注: 1. 无穷大量不是很大的数, 而是以无 穷?为极限的函数； 2. 若 f (x)为 x? a时的无穷大量, 则 f 为U o?a?上的无界函数; 3. 无穷大的计算P80. 反之, 无界函数不一定是无穷大量P119.;证明:;四、无穷小量;无穷小量的性质: 两个(相同类型的)无穷小量之和或积仍为 无穷小量; 2.无穷小量乘???界量仍为无穷小量. 3. 充要条件是 f (x) = A + , 其中 满足;定理 (i) 若 f (x)为x? a时的无穷小量, 且在 U o?a? 内 f (x)不等于零, ;§2.4 函数极限的定理 ; ; 证明：已知 与 ，即 ,分别 有 从而 有 从而 于是， ; ; ; ;二、函数极限与数列极限的关系;海涅定理(归结原理)可简述为:;三、函数极限存在判别法;(1);即;例 求极限 ; ; ;已知 与 ,有 有 取 同时有 于是， 有