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liu qun northeastern university 数理逻辑的内容： 古典数理逻辑： CH1--命题逻辑、CH2--谓词逻辑 现代数理逻辑： 公理化集合论、递归论、模型论、证明论 命题逻辑 Proposition Logic 判断下列句子是否为命题: . （1） 2是素数 （2）雪是黑色的 （3）现在我们在上课 （4）2+2=5. （5） 1+101=110 （6）别的星球上有生命. 命题语句真值确定的几点说明： 1、时间性 2、区域性 3、标准性 命题真值间的关系表示： 真值表（Truth Table) 逻辑连接词： 在自然语言中,常常使用“或”,“与”,“但是”等一些连结词，数理逻辑也要用到逻辑连结词。 例：（11）我学英语，或者我学日语 （12）如果天气好，我就去散步 例 ： P： 伦敦是个多雾的城市 ┐ P： 伦敦并非是个多雾的城市 或 ┐ P： 伦敦不是一个多雾的城市. 例： P：今天下雨，Q：明天下雨 合取为：P∧Q：今天下雨而且明天下雨 3．析取联结词 例： P：我选修离散数学， Q：我选修算法语言。 P?与 Q的析取式，P∨Q：我选修离散数学或选修算法语言。 4．蕴涵联结词 设 P，Q为二命题，复合命题“如果 P, 则 Q”，称作 P与 Q蕴 涵式，记作 P→Q. P为前件，Q为后件。 →称作蕴涵联结词。 “P→Q”又称为条件命题，规定当 P为真和 Q为假时， P→Q为假，否则为真。 试对二进制数01 1011 0110 和11 0001 1101进行“与”，“或”运算 例：将下列命题符号化: （1）只要不下雨，他就骑自行车上班。 （2）只有不下雨，他才骑自行车上班。 例：将下列命题符号化，并指出真假。 (1) 若2+2≠4 ，则太阳从西方升起。 ┐ P→ ┐Q T (2) 若2+2≠4 ，则太阳从东方升起。 ┐ P→Q T (3) 若 2+2=4 ， 则太阳从西方升起。 P → ┐Q F (4) 若 2+2=4 ， 则太阳从东方升起。 P→Q T 例：咿索的主人在一次酒桌上喝醉了说，我没醉，我可以和你们打赌，我能把大海喝光，醒来后别人就来和他打赌。怎么办？ 5．等价联结词 设 P，Q为二命题，复合命题“P当且仅当 Q”，称作 P与 Q的等价式，记作 P?Q. ?称作等价联结词。规定当 P和 Q的真值相同时， P?Q为真，否则为假 例：（1）两个三角形全等，当且仅当它们的三组对应边相等 （2）函数y=f(x)在x=a处连续的充分必要条件是当x→a时，f(x)→f(a) （3）2+2=4当且仅当雪是黑的 命题公式： 简单的说，就是由命题变元（不是命题）、联结词及括弧构造出的式子 例 （┐A∧B）， ┐（A?B）， （P→ Q）∧（Q→R）→（P→R） 命题公式的运算规则： 逻辑联接词的优先级： ? 、 ∧、 ∨、 → 、?? 所有公式中的命题变量用指定命题（真值）代入（或指派），得到一个公式对应的真值——称为解释或赋值 研究对象： 一、原子命题（符号化） ——联结词——复合命题（翻译） 二、命题公式： 命题变元——命题公式——赋值—— 真值表—— 类型（永真，永假，满足）——等值演算（真值表，子式与置换（推导原理） 三、标准化 （其他连接词，最小连接词，对偶与范式， 小项与大项，主范式） 四、逻辑推理：三种基本原理 利用此定理可以将已知条件扩大一倍 1.５对偶与范式——对偶 命题公式的形式是千变万化的，这对我们研究命题演算带来一定的困难，在这里我们将研究如何由一个命题公式化归为一个标准形式的问题，这样，命题演算的研究问题就归结为对标准形式的研究问题，这种标准形式就叫作范式 1.５对偶与范式——对偶 1.５对偶与范式——范式 与上概念类似，只是∨和∧的位置发生了变化 1.５对偶与范式——范式 1.５对偶与范式——范式 1.５对偶与范式——范式 一个命题公式的合取范式或析取范式并不是唯一的。 1.５对偶与范式——范式 n个命题变元的合取式，称作小项或布尔合取，其中每个变元与它的否